Pozitif Sayıları Toplayarak Negatif Bir Sonuç Elde Etmek Mümkün müdür?
1+2+3+4+5... şeklinde sonsuza dek toplarsanız varacağınız sonuç -1/12'dir.
yani 1+2+3+4+5...=-1/12
bu toplama serisinin sonucunun neden -1/12 olduğunu anlatabilmek için ıraksak serilerden bahsedip biraz cebir yapmamız gerekecek ancak ondan da önce konuyla ilgili bilgisi olmayanlar için sonsuzluk kavramı hakkında bir şeye açıklık getirmek gerekiyor. bunun sebebi de bana şimdiye dek "bunun cevabı sonsuzdur" diyen onlarca kişiyle karşılaşmış olmam.
sonsuz diye bir sayı yoktur. neden mi?
düz bir koridor üzerinde ilerleyebildiğimiz bir otopark hayal edelim ve bu otoparktaki her bir park yerine bir araba park edilmiş olsun. otoparkın girişinden başlayan park alanlarındaki ilk park yerine park edilmiş arabanın üzerine baktığımızda bu arabanın üstünde 1 yazdığını farz edelim.
bu noktada arabaları isimlendirmeye başlayalım. mesela üzerinde "1" yazan arabaya birinci araba, "10" yazan arabaya onuncu araba, "122" yazan arabaya da yüz yirmi ikinci araba diyelim. bir zaman sonra şunu fark ederiz.
diyelim ki biz üzerinde 122 yazan arabaya gitmek isteyen birine yol tarif etmek istiyoruz. bu arabaya gidecek olan kişiyi yönlendirmek için yapabileceğimiz tek şey o kişiye "buradan dümdüz yürüyüp üzerinde 122 işareti olan arabayı bul" demek değil. mesela bunun yerine o kişiye "üzerinde 61 yazan arabayı bulana dek yürü ve yürürken de adımlarını say. 61 yazan arabayı bulduğunda, aynı doğrultuda attığın adım kadar bir kez daha yürü."
böylelikle gitmek isteyen kişiye, 122 numaralı aracın yerini 61(2) şeklinde tarif etmiş olduk. yani 122 numaralı arabanın yerini, 122 sayısının kendine has sembolünü kullanmadan tarif ettik.
yani x= 61. arabaya kadar atılan adım ise 2x=122. arabaya kadar atılan adım dedik.
şimdi 1+2+3+4+5... işleminin cevabının "sonsuz" olduğunu düşünelim. bu durumda sonsuz dediğimiz şeyin bir sayı olması gerekir değil mi?
çünkü bu işlemi otopark üzerinden düşünürsek "başlangıçtan birinci arabaya kadar atılan adım + başlangıçtan ikinci arabaya kadar atılan adım + başlangıçtan üçüncü arabaya kadar atılan adım..." şeklinde bir yol tarifi ile karşılaşırız.
eğer biz bu otoparkın bir noktasında sağımıza dönüp üzerinde sonsuz yazan bir araba görebilirsek, demek ki "sonsuz" isminde bir sayı vardır.
peki bu durumda sonsuzuncu araba nerededir? eğer 1+2+3+4+5... toplamının bizi götürdüğü yerde sağımıza dönüp sonsuzuncu arabayı göremezsek, bu durumda cevap sonsuz değildir.
cevap sonsuz değildir çünkü ne kadar gidersek gidelim sonsuzuncu arabayı göremeyiz. çünkü sonsuzuncu araba diye bir araba yoktur. çünkü sonsuz bir sayı değildir. çünkü sonsuzuncu arabaya giden yolu 122. arabada olduğu gibi "x'e gittiğin adım kadar git, sonra da y'ye gittiğin kadar adım git" şeklinde tarif edemeyiz.
peki cevap neden -1/12'dir?
1+2+3+4+5...=-1/12 sonucuna varabilmek için iki adımımız var.
1. adım: grandi serisinin sonucunu bulmak.
2. adım: grandi serisinin sonucunu doğal sayıların toplamına uygulamak.
grandi serisi nedir?
grandi serisi 1-1+1-1+1-1... şeklinde sonsuza dek giden seriye denir. bu serinin sonucunu bulmak, bizi 1+2+3+4+5...=-1/12 sonucuna götürür.
peki 1-1+1-1+1... toplamının sonucu kaçtır?
cevap: bazen 0, bazen 1, ama en çok da 1/2'dir.
peki nasıl?
1-1+1-1... serisini parantezlere ayırarak yazmayı deneyelim.
eğer parantezi en baştaki iki terimi ayırmak için kullanır ve bu şekilde devam edersek şu sonuca varırız:
(1-1) + (1-1) + (1-1)...
bu da bize 0+0+0... işlemini verir.
böylelikle 1-1+1-1... = 0 sonucuna varırız.
eğer parantezleri ikinci ve üçüncü terimi ayırarak başlatır ve bu şekilde devam ettirirsek de:
1 +(-1+1) + (-1+1) + (-1+1)... şeklinde ilerleriz.
bu sonuç da bize 1+0+0+0+0... =1 sonucunu verir.
peki biz hangi sonucu tercih etmeliyiz?
çoğu matematikçiye göre 1/2 sonucunu tercih etmeliyiz.
peki nasıl 1/2 sonucuna varırız?
diyelim ki biz bu seriye bir isim verdik. [(bkz: guido grandi)seriyi bulan kişinin ismi] g ile başladığından seriye g serisi diyelim.
g = 1-1+1-1+1-1...
şimdi 1 - g sonucunu bulmaya çalışalım.
1-g= 1- (1-1+1-1+1...)
böylelikle 1-g= 1-1+1-1+1-1...
yani 1-g = g
yani 1 = 2g
yani 1/2 = g
bu durumda " ya kestane boş yapma. cevap ya 0 ya da 1 işte, neden en doğrusunu 1/2 kabul edelim ki?" diyebilirsiniz. tam da bu sebepten matematikte diverjans, diğer adıyla ıraksama kavramını anlamamız gerekecek.
(birazcık sabredin. -1/12'ye geliyoruz az kaldı.)
ıraksama dediğimiz şey, bir bakıma yakınsama dediğimiz şeyin tam tersidir.
yakınsama, bir serinin toplamının kısmi olarak değerlendirerek ilerlendiğinde belirli bir sayıya yakınlaşması, ancak o sayıya hiç varmamasıdır.
örnek olarak 1+(1/2)+(1/4) + (1/8)... serisini alalım.
bu serinin toplamını kısmi olarak ele almak demek önce ilk iki terimi toplayıp sonuca bakmak, sonra ilk üç terimi alıp sonuca bakmak şeklinde devam etmek demektir.
örneğin ilk iki terim olan 1+(1/2) işleminin sonucu bize 1.5 sayısını verir.
ilk üç terim olan 1+(1/2)+(1/4) işleminin sonucu bize 1.75
ilk dört terim olan 1+(1/2)+(1/4)+(1/8) işleminin sonucu ise bize 1.875 sonucunu verir.
bu toplama devam ettikçe 2 sayısına yaklaştığımızı görürüz. bu durumda 1+(1/2)+(1/4)... toplamı 2 sayısına yakınsadığı için toplamı her ne kadar 2'ye varmasa da matematiksel olarak 2 kabul ederiz. tıpkı 0.99999999... sayısını 1 kabul ettiğimiz gibi.
diverjans, yanı ıraksama durumu ise bu durumun tam tersidir. bir serinin toplamının hiçbir sayıya yakınsamıyor olması, ıraksamadır.
şimdi g serimizi ele alalım.
1-1+1-1+1-1...
ilk iki terimin toplamı 0, ilk üç terimin toplamı 1, ilk dört terimin toplamı 0 şeklinde devam eder. bu noktada g serisi herhangi bir sayıya yakınsamadığı için g serisine ıraksayan bir seri olarak kabul edip cevabı kendisine eşittir diyerek geçiştirebiliriz. bu da cevap g=g demektir ve elimize hiçbir şey geçmez. peki yakınsama yoluyla cevap bulmanın tek yolu yukarıdaki yöntem midir?
hayır.
yakınsamanın bir başka yöntemi, toplanan terimlerin ortalamasının terim sayısı arttıkça bizi hangi sayıya götürdüğünü bulmaktır. yapmamız gereken şey serinin aldığımız kısmının son iki teriminin toplamı ile ondan önceki terimleri toplayıp bunu terim sayısına bölmek ve aynı işlemi terim sayısını arttırarak devam ettirmek.
mesela 1+(1/2)+(1/4)... serisinin yakınsadığı sayıyı bulmak için şu işlemi yapabiliriz.
(1/2)( 1 + (3/2) ) = 5/4
(1/3)(1+(3/2)+ (7/4) = 17/12
bu şekilde ilerlemek bizi aynı ilk yöntemdeki gibi 2 sayısına yaklaştırır.
şimdi bu yöntemi g serisine uyarlayarak yakınsama sonucunu görelim.
1-1+1-1... serisinde ilk iki terim için (1/2)(1-0)=1/2
ilk üç terim için (1/3)(1+0+1)=2/3
ilk dört terim için (1/4)(1+0+1+0) = 1/2
bu sefer toplamlarımız 1/2, bir şey, tekrar 1/2, başka bir şey, tekrar 1/2 şeklinde ilerler.
mesela ilk ikiden ilk beş terime kadar olan kısmı için 1/2, 2/3, 1/2 , 3/5... şeklinde ilerliyor.
bu noktada şu sonuca varırız.
eğer bu işlemi sonsuza dek ilerletirsek elde edeceğimiz şey 1/2 + x olur ve x sayısı da ne kadar ilerlersek değeri o kadar küçülen kesirli bir sayıdır.
çünkü birinci yukarıda da görebileceğiniz gibi ilk üç terim için x=2/3 iken ilk beş terim için x =3/5 olur. ilk x'e x1, ikinci x'e ise x2 dersek x1>x2 olur.
eğer bu serinin tamamını alırsak elde edeceğimiz x'e xs dersek, xs sıfıra yakınsayacağı için 1/2 + xs'den cevabı 1/2 buluruz.
ikinci kullandığımız yakınsama yöntemi matematikte limit dediğimiz şeyin neredeyse bütün özelliklerini taşısa da aslında limit değildir. ancak bize hiç değilse pratik bir çözüm sunduğu için matematik dünyasında tercih edilen yöntem budur.
artık grandi serisinin, yani 1-1+1-1+1-1... işleminin cevabının neden 1/2 kabul edildiğini bildiğimize göre doğal sayıların toplamını bulma aşamasına geçebiliriz.
bunun için öncelikle üç toplama serisi tanımlayalım.
bunlardan ilki grandi serisi, yani g
ikincisi a serisi
üçüncüsü de doğal sayıların toplamı olan n serisi olsun.
g=1-1+1-1....=1/2
a=1-2+3-4....=?
n=1+2+3+4+5....=?
g serisinin 1/2'ye eşit olduğunu biliyoruz. bu cepte.
şimdi a serisini kendisi ile bir defa toplayacağız. ancak sonsuz toplam serilerinde kullanılan yöntemlerden birini kullanıp, alta yazdığımız a serisini bir tur sağa kaydıracağız. seri sonsuz olduğu için bu noktada bir sorun çıkmayacak.
bir sağa kaydırmak demek, 1. a1 terimi ile 2. a2 terimini toplamak demek.
şu şekilde olur : a + a = 1-2+3-4+5-6....
************************1-2+3-4+5....
************************ +-------------------
bu da bize 2a= 1-1+1-1+1... sonucunu verir.
yani 2a=g
2a=1/2
a=1/4
n toplamını 1+2+3+4+5... şeklinde tanımlamıştık.
şimdi n - a işlemini yapalım=
*1+2+3+4+5...
-(1-2+3-4+5...)
+-----------------
=0+4+0+8+0...
yani n-a = 4+8+12+16...
n-a = 4n ( çünkü n serisini 4 ile çarparsak 4(1+2+3+4...) işleminden 4+8+12+16... sonucunu buluruz.
n sayısını karşıya atarsak -a=3n
-a = -1/4
-1/4=3n
-(1/4)/3=n
n=-1/12 sonucuna varırız.
"peki kestanecim, bize bu kadar matematik anlattın durdun da bu günlük hayatımızda ne işe yarayacak lan bizim!?"
fizik biliminde kullanıp teknolojiyi ilerletebiliriz mesela.
n toplamı mesela fizikte casimir kuvvetinde ve sicim teorisinde kullanılan bir toplamdır ve bu teorilerin oluşmasına zemin hazırlar.
ileri okuma için: casimir etkisi
sicim teorisi
ingilizce bilenler için konuyla ilgili numberphile videoları grandi serisi, n toplamı, bu toplamı bilmek ne işimize yarar
daha da ileri okuma için: ramanujan toplamı, riemann zeta fonksiyonu
Bu yazıya katılmayan bir Ekşi Sözlük yazarının yorumu
yanlış bir önerme bu. doğal sayıların toplamının negatif olması değil, doğal sayıların grandi serisine göre toplamının negatif olması olacak. -1/12 ise ramanujan toplamına göre çıkan sonuç.
matematikte tek bir söylem, tek bir işlem, tek bir operatör vs çok çok fark eder. tıpkı başlıkta sunulan eksik bilginin neden olduğu bir yanlış gibi. bir kümenin elemanlarını farklı metotlarla işlerseniz sonuçlar çok farklı olur ve siz bu sonuçlara bakarak kümenin elemanları hakkında birbirine aykırı çıkarımlar yapamazsınız.
örneğin, doğal sayılarda toplama işlemi yapmak istiyorsanız pure matematik ispatı tek bir şekilde yaparsınız temelden. öncelikle doğal sayılar kümesini kurarsınız, daha sonra toplama işlemini kurduğunuz doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlarsınız, ve son olarak da tanımladığınız işlemi yaparak ispatı bitirirsiniz. bunların hepsini kümeler üzerinde yapıyorsunuz bu arada. çünkü sayı denilen kavram yok ve oluşturduğunuz kümelerdeki elemanları sayı olarak addediyorsunuz.
matematikte bunula ilgili çok temel birkaç teorem vardır ve yukarıdaki yanlış yorumlanan metot ile bu ispatı her yerde bulabileceğiniz teoremleri birbiriyle cima eylettiyorsunuz. mesela pozitif sayıların toplamı ve çarpımı pozitiftir. buyrun binlerce, milyonlarca bu söylemimi kanıtlayacak örnekleme yapabiliriz. siz bana gerçek sayılarla aksini ispat edeceğiniz bir tane örnekleme yapın ve beraber makale yazalım.
ıraksak ve yakınsak durumları var başlıktaki metodun da içinde olan, ve bu seriler yakınsayabilir ama serilerin gerçek değerleri yakınsamaz. bunu çok bilinen bir durumla anlatmaya çalışayım. örneğin bir sayının sonsuza bölümü sıfır olarak kabul edilir, ancak aslında sıfır değildir. limitini alıp sıfıra yakınsadığını kabul ederiz. sonsuz diye bir sayı olmadığından (sonsuz bir kavramdır) bu tür matematiksel işlemlerde bazı varsayımlar yapılır ve sen sağ ben selamet işin içinden çıkılır, taa ki daha iyi bir yöntem belirlenene kadar. yukarıdaki metotda da bir seri tanımlanmış ve o serinin kurallarına göre bir sonuç ortaya çıkmış, durum bundan ibaret. yani basit toplama işlemi yapılmıyor.
ben size yukarıdaki gibi bir pure matematik bilenler dışında pek kimsenin anlayamayacağı, adım adım anlatarak çok basit işlemlerle 1 = 2'yi de ispatlarım. bu nedenle çok da şey etmeyin yani.
"Erkekler mi Daha Çok Seks Yapar Yoksa Kadınlar mı" Sorusunun Matematiksel Cevabı
