Filozof Bertrand Russell'ın Matematiği Kullanarak Papa Olduğunu Rahatlıkla Kanıtlaması
bertrand russell'ın papa olması, russell'ın kendi iddiasına göre matematiksel mantıktaki koşullu önermeler kullanılarak kanıtlanabilecek durumdur.
matematikteki mantık konusuna aşina olanlar önermelerin ne olduklarını ve doğruluk değerlerini bileceklerdir. yine de russell'ın anekdotunu açıklamadan önce okuyucuya matematiksel mantık ve bu sistemdeki yabancı literatürde conditional statements olarak bilinen koşullu önermeleri hatırlatmak gerek.
matematiksel mantık dediğimiz şey aslındaki matematikte sözcük oluşturma biçimidir. nasıl bütün dillerde sözcükler harfler ve sözcükler varsa matematikte de harfler ve sözcükler vardır. bu harfler mantık sembolleri, sözcükler ise bu semboller ile oluşturulmuş önermelerdir.
lise müfredatında öğretilen semboller " ' , ^ , v , => , <=> " ( soldan sağa ve, veya, ise, ancak ve ancak ) gibi sembollerdir. önermeler ise p1, p2, p3 ya da q1, q2, q3 gibi kısaltmalarla isimlendirilen ve herhangi bir olgudan bahseden yargılardır. her bir önerme iki doğruluk seçeneğinden birine sahip olmak zorundadır. yani matematikte bir önerme ya doğrudur ya da yanlış.
doğru önermelere 1, yanlış önermelere ise 0 değeri verilir. önermeler için iki örnek verelim.
"kestane boş adamdır" önermesi her ne kadar günlük hayatta doğru kabul edeceğimiz bir önerme olsa da matematiksel açıdan bir önerme çeşidi değildir. çünkü "kestane boş adamdır" cümlesindeki "boş adam" tamlamasının kesin ve net bir anlamı yoktur. bir şeyin matematiksel önerme olabilmesi için tanımı kesin bir olgudan bahsetmesi gerekir.
"kestane bir ekşi sözlük yazarıdır" önermesi ise matematiksel bir önermedir. çünkü "ekşi sözlük yazarı" dediğimiz şeyin tanımı bellidir ve bu önerme ya doğru olabilir ya da yanlış olabilir. eğer kestane bir sözlük yazarı ise bu önermenin doğruluk değeri 1, eğer kestane bir sözlük yazarı değilse de bu önermenin doğruluk değeri 0 olur.
her bir önerme bir sözcüktür demiştik. yukarıda gösterdiğimiz semboller kullanılarak bu sözcüklerin birleştirilmesiyle matematik dilinde konuşmak mümkündür.
bertrand russell'ın alfred north whitehead ile yazdığı kitabı principia mathematica'dan örnek bir görsel
sözcükleri, yani önermeleri sözcüklerle birleştirmek bir cümle kurmamızı sağlar. her cümle aynı zamanda bir önermedir. bu sebepten her bir matematiksel cümlenin, o cümleyi oluşturan önermelerin doğruluk değerine bağlı bir doğruluk değeri vardır.
mesela diyelim ki bir sınıf öğretmeni mahmut ve hüso öğrencilerini çağırırken "mahmut ve hüso gelsin" şeklinde bir cümle kurdu.
p= mahmut geldi.
q= hüso geldi.
böylelikle yaşanan olay p ^ q şeklinde yazılır.
p ve q önermelerinin birer doğruluk değeri vardır ve öğretmenin istediği şeyin gerçekleşebilmesi için tek seçenek hem mahmut'un hem de hüso'nun gelmesidir.
diyelim ki mahmut geldi ve hüso gelmedi.
bu durumda doğruluk değerleri:
p=1
q=0
olur.
yani öğretmenin istediği olmaz.
bu durumda:
1 ^ 0 = 0
0 ^ 0 = 0
0 ^ 1 = 0
eğer hem mahmut hem de hüso öğretmenin yanına gelirse durum 1 ^ 1 olur ve öğretmenin istediği şey gerçekleşir.
bu durumda 1 ^ 1 = 1
aynı şeyi veya, ise, ancak ve ancak bağlaçlarında da kullanabiliriz. her birini açıklamak çok uzun süreceğinden hepsinin doğruluk değerlerini gösteren bir görsel bırakıyorum:
görselde q ise p anlamına gelen ( q -> p ) koşullu işleminin doğruluk değerinin yalnızca bir durumda yanlış olabileceği dikkatinizi çekmiştir. bu durum öğrencilerin ve öğretmenlerin de en çok kafasını karıştıran durumdur.
peki kafa karıştıran şey ne?
ise bağlacında bir cümlenin yanlış olabilmesi için yalnızca ilk önermenin doğru ikincisinin yanlış olması gerekir.
bunu bir örnekle açıklayalım:
p = kestane bir sözlük yazarı
q = 3 bir asal sayıdır.
matematiksel mantığa göre ( p -> q ) işlemi bize şunu söyler:
kestane bir sözlük yazarı ise 3 bir asal sayıdır.
bu durumda benim sözlük yazarı olmadığımı düşünelim ve 3 sayısının asal olduğunu biliyoruz.
böylelikle 0->1=1 olur.
iyi de benim sözlük yazarı olmamla 3 sayısının asal olmasının ne ilgisi var ki? hem benim sözlük yazarı olmamın yanlış olması bizi 3'ün asal olduğuna nasıl götürdü de sonuç olarak doğru bir cümle kurduğumuzdan emin olduk.
matematikte bunun açıklaması şu şekildedir.
yanlış bir yolla bir doğru sonuca varabiliriz ( 0 ->1 = 1 )
yanlış bir yolla yanlış bir sonuca varabiliriz ( 0 ->0 = 1 )
doğru bir yolla doğru bir sonuca varabiliriz ( 1 ->1 = 1 )
doğru bir yolla yanlış bir sonuca varamayız ( 1 -> 0 = 0 )
bu olayı zihninde oturtamayanlar için çok daha etkili bir anlatım yöntemi vardır. bu yöntemde sonuç 0 ise yalan söyledim, sonuç 1 ise yalan söylemedim olarak hayal edelim.
diyelim ki birine "hava güneşli olursa güneş kremi süreceğim" sözü verdiniz.
p = hava güneşli
q = güneş kremi sürdüm.
1 -> 1 = 1 : hava güneşli ve güneş kremi sürdüm, dolayısıyla yalan söylemiş olmadım.
0 -> 1 = 1 : hava güneşli değil ama ben yine de güneş kremi sürdüm. ben en başta "hava güneşli olmazsa güneş kremi sürmeyeceğim" demediğim için yine yalan söylemiş olmadım.
0 -> 0 = 1 : hava güneşli değil ve ben güneş kremi sürmedim. yalan söylemiş olmadım.
1 -> 0 = 0: hava güneşli ve ben güneş kremi sürmedim. dolayısıyla yalan söylemiş oldum.
koşullu önermeleri açıklığa kavuşturduğumuza göre artık bertrand russell'ın neden papa olduğunu açıklayabiliriz.
bir gün russell mantık üzerine ders verirken koşullu önermeler konusunda bir öğrenci bu olayı tutarsız bulup russell'a "madem yanlış önermelerden doğru sonuçlara varabiliyoruz, öyleyse 1=0 önermesinden papa olduğunuzu kanıtlayabilir misiniz?" sorusunu sorar.
russell bu soruya "ondan kolay ne var canım?" cevabını verip işlem yapmaya başlar.
" 1=0 dedik. eğer denklemin her iki tarafına da 1 eklersek 2=1 sonucuna varırız. şimdi bir küme, ya da bir oda düşünelim. bu odanın içinde 2 kişi olsun. bu kişilerden biri ben diğeri de papa olsun. 2=1 olduğuna göre odada bir kişi vardır. böylelikle odada hem ben hem de papa olduğundan, ben papa olurum."
yani:
p = " 1=0"
q = " bertrand russell papadır "
böylelikle:
p = 0
q = 0
( p -> q ) = ( 0 -> 0 ) = 1
matematik tuhaf şey.
ileri okuma için (bkz: önermeler mantığı)
Bertrand Russell'ın Bir Düşüncenin Kanıtlanabilirliği Hakkındaki Efsane Yorumu: Kutsal Demlik
