Öklid, Öğrencilerine Neden Kilitsiz Pergel Kullanmalarını Öneriyordu?
kilitsiz pergel, öklid'in geometri öğrencilerine kullanmalarını salık verdiği pergel çeşididir.
pergel dediğimiz alet basitçe bir merkezde birleşen iki uçlu kalemdir. kalemlerin bu merkezdeki birleşme açılsı değiştikçe pergel ile çizilen dairenin çapı da değişir. aslında öklid tarafından istenilen şey de pergel ile bir daire çizdikten sonra bu açının değişmesidir. çünkü geometride aslında bizim bugün bildiğimiz gibi ölçüler ve sayılar kullanmaz. örneğin öklid geometrisinin temeli olan elementler kitabında sayı kullanılmaz.
kitabı basitçe gösteren bir shorts videosu
bunun sebebi kusursuz kabul edebileceğimiz bir geometri sisteminin sayılara ve ölçülere ihtiyaç duymamasıdır. bir şeyi yapmanın daha basit ve küresel bir yöntemi varken bunun yerine keyfi belirlenmiş ölçüler kullanmak ziyandır.
peki neden böyle bir kurala ihtiyaç duyarız?
öklid geometriye bu kısıtlamaları aslında bizim işimiz zorlaşsın diye değil, kolaylaşsın diye getirmiştir. bu kısıtlamalar sonucu kitabi okuyan dünyanın herhangi yerindeki herhangi bir insan ülkesinde kullanılan ölçü birimi ne olursa olsun öklid'in tarif ettiği şekli çizebilir ve öklid'in çizim metotlarını kendi pergelini kullanarak taklit edebilir çünkü çizim yapmak için ölçüye ihtiyaç duymaz. öklid kurallarınca aynı zamanda tıpkı pergel gibi cetvel de ölçüsüz olmalıdır. zaten geometride kilitsiz pergel ve ölçüsüz cetvel dışında alet kullanılmaz.
peki kilitli pergel ne demek ki kilitsiz pergel kullanmamız gereksin?
kilitli pergel, pergelin iki ucu arasındaki açının değişmemesi için bu açıyı sabit tutacak bir kilidin kullanıldığı pergel çeşididir.
kilitli pergel
benim de kullandığım tipte kilitsiz pergel
kilitli pergelin avantajı bir daire çizdikten sonra o dairenin çap uzunluğunu kaybetmeden farklı bir yerde ilk çizdiğimiz daireye denk bir daire çizme olanağıdır. ancak zaten öklid kilide ihtiyaç olmadan bir dairenin yarıçap uzunluğunu transfer etmenin yolunu, yani aslında aynı işin daha pürüzsüz ve sade halinin yolunu kitabında gösterdiği için matematik dünyasında bu hareket bir bakıma alay konusu bir harekettir. yani kilitli pergel kullanmak bir bakıma 1+1 işlemini yapmak için hesap makinesi kullanmaya benzer ve bunu bir matematikçi yaptığı zaman saygınlık kaybetmesi işten değildir.
durumu daha iyi anlamak için kitabın ilk önermesi olan eşkenar üçgen önermesine bakalım:
öklid bu önermede basitçe hiçbir ölçü birimi kullanmadan, sadece kilitsiz bir pergel ve ölçüsüz bir cetvel ile eşkenar üçgen inşa etmeyi gösterir.
görselde anlatılan şey oldukça basittir. eğer bir eşkenar üçgen yapmak istersek önce keyfimizin istediği uzunlukta bir doğru parçası çizer ve bu doğru parçasının bir ucuna a diğer ucuna b noktası deriz.
önce pergelin bir ucunu a noktasına, diğer ucunu b noktasına koyar ve bir daire çizeriz. daha sonra bu işlemin tam tersini yaparak, yani ilk seferde a noktasına koyduğumuz ucu b noktasına ve b noktasına koyduğumuz ucu da a noktasına koyarak bir daire daha çizeriz. bu iki işlem sonunda yarıçapları birbirine eşit ve birbiriyle kesişen iki dairemiz olur. bu dairelerin merkezlerinden, iki dairenin kesişim noktasına iki farklı doğru parçası çizersek sonuçta ortaya çıkan üçgenin bütün kenarları eş dairelerin yarıçapları uzunluğunda olacağından ortaya çıkan üçgen bir eşkenar üçgen olur.
görselde de görülebileceği üzere öklid bir eşkenar üçgen oluştururken hiçbir ölçü birimine ya da sayıya ihtiyaç duymamış, bunu yaparken kilitli pergel, ölçülü cetvel gibi mekanizmalara da ihtiyaç duymamıştır.
bu durum matematiğin en temel ve dünyanın gelmiş geçmiş en etkili kitaplarından biri olan elementler kitabının tamamında geçerlidir. yani ölçü, kilit gibi mekanizmalar uzunluk transfer ederken, açı bölerken, oranlama yaparken falan da kullanılmaz.
kitapta ilerledikçe insan bunları ortaya çıkaran zekalara hayran olamadan duramaz.
ancak yine de elementler kitabını bireysel olarak okuyarak anlamak oldukça zordur çünkü önermeler gittikçe ağırlaşır. buna rağmen kitabın türkçe çevirisi olsa bile türkçe anlatımına rastlayamadığım için birkaç hafta içinde hiç değilse kitabın birinci cildini oluşturan ve sıfırdan pisagor teoreminin kanıtını kadar giden ilk 50 önermeyi açıklayan bir youtube video serisi çekmeyi düşünüyorum.
seriyi merak edenler takipte kalabilir.
ileri okuma için: kilitsiz pergel ve ölçüsüz cetvel wiki