Son Dönem Matematik Felsefesinin Başlıca Tartışma Konularından Biri: Aksiyomatik Sistemler
Aksiyomatik sistem: Aksiyomlara dayalı, yeni teoremler üretmekle ilgili mantıksal çıkarım kurallarını içeren biçimsel sistem.
aksiyomatik sistemler son dönem matematik felsefesi içi tartışmalarda ana sorunsallardan biridir
modern düşüncenin ortaya çıkışı bilimlerde kesinlik arayışıyla çakışmaktadır. descartes ile başlayan özne üzerine düşünce ve onun bunu gerçekleştirirken metod olarak kullandığı şüphe, felsefe ve bilim içerisinde şüpheyi geride bırakacak bir kesinlik ihtiyacını doğurmuştu. şüpheye karşı geliştirilen argümanlar, hakikatin var olduğu ve onun bilinebileceği üzerine doğan mülahazalardan ileri gelmektedir. hakikata ulaşmanın yolu olarak da geometriden geçildiğine dair şaşmaz bir inanç hakimdi. hakikat, devrin tüm zihinsel uğraşlarını kendinde ortaklaştıran ve bütünleştiren bir zemin işlevi görmekte idi. dolayısıyla, hakikat olduğu düşünülen şeyi temellendirecek aşkın bir güvence arayışının kendini farklı alanlara özgü formlar kazanarak kendini açığa çıkarttığını görmekteyiz.
örneğin; spinoza felsefede hakikati temellendirmek istedi, hobbes siyasal olanın üzerinde, pascal ise tanrının varlığının kanıtını onto-teolojik çözüm girişiminde hakikati aradı. yine pascal tanrısal inayetin sağladığı aşkın çözüme "geometik ruh" ile ulaşabileceğimizi savladı. ancak sonradan bu durumun hiç de sanıldığı gibi olmadığı anlaşıldığında kesin bilimler bir kriz içerisine girmişlerdir. bunu anlamalarını sebebiyet veren itki, euclidesçi geometrinin postulatlarının sorgulanabilir olduğunu görmeleri ve bir adım daha ileri götürülerek postulat kavramının kendisine dair yapılan düşünümle kesin bir sistem kurulmasına dair yapılan sorgulamaydı. aksiyomatik sistemler ise tam da bu krize verilecek bir cevap olarak düşünülmüştü. aksiyomatikleştirme, kendiliğinden doğru ve açık başlangıç önermeleriyle hareketle yola çıkılan tümdengelimsel sistemleri tanımlamak için kullanılır. matematiği sağlam temeller üzerine oturtmayı amaçlayan bu yaklaşım biçimsel olarak kesinlik vaat etmekteydi.
kesinliğin olduğu düşünülen geometrik yöntemin (more geometrico) temel referansı euclides'in "öğeler" adlı eseridir
bu eserde euclides kendinden önce gelen mısır ve yunan geometrik yaklaşımlarını sistematik biçimde bir araya getirdi. amaçladığı temel gaye ise, düşünce zinciri içerisinde doğruluğu tartışılacak hiçbir önerme olmamasını sağlamaktı. bundan dolayı başlangıç önermelerinin ne olacağı ve hangilerinin ispatlanmasına gerek olmadığını belirlemek ziyadesiyle önem arz ediyordu. bir kere önermeler kabul edildiğinde ondan çıkarılabilecek ve geliştirilebilecek düşünceler kolayca ispatlanabilirdi. böylelikle sistemin hiçbir hataya mahal vermeyen tartışmaya kapalı ve doğruluğu tartışılmayacak bir hüviyete sahip olduğu kendiliğinden ortaya çıkıyordu.
deneysel fiziğin kullandığı yöntem ile matematiksel ispat yönteminin arasında ortaya çıkan gerilim ve euclidçi olmayan geometrilerin ortaya çıkışıyla yeni bir problematik alanı meydana gelmişti. ilk olarak kendiliğinden açık olduğu düşünülen postülaların hipotez olarak benimsenmesi tartışılmıştır. ikinci olarak da euclidçi olmayan geometrilerin kendiliğinden açık olduğu kabul edilen önermelerinden bazıları yadsındığında tutarsızlık olacağı düşünülmüştü ancak lobachevski ve riemann tarafından yeni sistemlerde bu tutarsızlığın olmadığı gösterilmiştir. riemann?ın oluşturduğu geometride mantıksal tutarlılık gözlenmesi kendi içinde tutarlı farklı geometrik sistemlerin olduğu kabulüne varmıştır.
euclidçi geometrinin taşıdığı mantıksal sorunlar aksiyomatik düşüncenin doğuşuna işaret etmektedir
geometrik yöntem kendiliğinden doğru olan önermeler için okurun hayal gücüne başka bir deyişle sezgisine yöneliyordu. halbuki düşünce sezgiyle birleştiği zaman ister istemez mantıksal kesinlikten de uzaklaşması kaçınılmaz olacaktır. aksiyomatik sistemler, sezgiyi düşüncenin içerisinden çıkarak mantıksal kesinliğe ulaşmayı amaçlamaktaydı. her ne kadar aksiyomatik sistemi ilk kullanan pasch olsa da, matematikçilerin üzerinde uzlaştığı düşünceler geliştirmesi ve onların önüne genel bir program koyması hasebiyle david hilbert?in yaklaşımı incelenmelidir.
hilbert, bilimsel düşünceyle ilgili olan her şeyin aksiyomatik yöntemle bağlantılı olması gerektiğine inanıyordu. aksiyomatik sistemlerde bulunan önermelerin kendi bilgi alanları içerisinde temellendirmesi zorunluydu. eğer bu sistem bilginin üretilmesi ve düzenlenmesi işini yapacaksa bunun için iki temel işlevi yerine getirilmelidir: "bağımsızlık" ve "tutarlılık". bağımsızlık sorunu “önermelerin sistem içindeki diğer önermelerden türetilmemesi ile ilgili”dir. tutarlılık ise, aksiyomatik sistemlerin olmazsa olmaz şartlardan biridir ve tutarlılığın olmaması halinde sistem tümden geçerliliğini kaybedebilme noktasına gelebilir. tutarlılık hem içsel ve hem de dışsal olarak geçerli olmalıdır. içsel tutarlılık, bir önermenin kendisinin ve çelişiğinin sistem içerisinde doğru olduğunu göstermesi yoluyla sınanmalıdır. dışsal tutarlılık ise diğer bilgi alanlarıyla olan uyumunda sorun çıkmaması üzerine kuruludur. son olarak hilbert'in aksiyomatik için öne çıkardığı mesele "kararlaştırılamazlık"tır. bir sistem içerisinde sunulan iki çelişik önermeden en az biri ispatlanabiliyorsa o sistem tam olma özelliği göstermektedir. aksi takdirde kararlaştırılabilen daha zayıf bir tam olma durumu mevzubahis olur. bu yolla sağlanan tutarlılık bazı aksiyomların çıkarılmasını bazılarının da eklenebilmesini gerektirebilmektedir.
hilbert'in bu yaklaşımlarının karşısında gödel, aritmetiği içeren bir aksiyomatik sistemin eğer tutarlı ise içinde doğruluğu yanlışlığı kanıtlanamayan önermelerin bulunabileceğini, karar verilemez önermeler içerdiği için de sistem tutarlı ise - kararlaştırılamaz önermeler sisteme eklense bile- tam olamayacağını; sistemin kendi tutarlılığını ispatlamaktan aciz olduğunu ve kararlaştırılamaz önermelerin doğruluklarının ancak meta-teorik çıkarımlar ile görülebileceğini ortaya koymuştur. böylelikle tutarlılık ölçütlerine uygun olarak bir tam olmama sorunu baş göstermiştir. gödel'in kararlaştırılamazlık ile gösterdiği sınır sezginin düşünce süreçlerinden tamamen çıkarılamayacağını sadece ertelenebileceğini göstermiştir. aksiyomatik bir sistemde dahi mantıksal temellere ulaşabilmek için sezgiye başvurmak gerekmektedir.
