Yapımı İçin 10 Yıl Amansızca Uğraşılan 65537 Kenarlı Düzgün Çokgen
görünürde ve temsili gösterilerinde yeterince büyük ekrana sahip olmadığımızdan daire gibi gördüğümüz ancak bir daireden çok daha azı olan bir çokgen bu. iç açılarının toplamı tam 11796300 derecedir. kendisi şöyle temsil edilir:
her seferinde 65537 kenarlı düzgün çokgen yazmaya üşendiğim için yazının devamında bu çokgenden varlığını ilk öngören matematikçi olan gauss ismiyle, yani gauss çokgeni olarak bahsedeceğim.
bu konu hakkında "ya arkadaş, kim neden oturup da 65537 kenarlı düzgün çokgen olur diye düşünmüş? işsiz mi bu insanlar?" diye sormak gayet doğaldır. hiç değilse ilk karşılaştığıma bunu ben de sormuştum.
olay aslında herhangi birinin oturup da "acaba 65537 kenarlı çokgen olur mu" diye düşünmesi değil. zamanında pierre de fermat isimli fransız matematikçi sayıların birbirleriyle ilişkisini anlayabilmek için sayılar kuramı üzerinde çalışırken oturup sayılarla oynuyor. bu sayılarla oynama sırasında 2^(2^n)+1 şeklinde gösterilen sayıların bazı özellikleri olduğunu keşfediyor. bu sayıları ilk fermat abimiz keşfettiği için de bu sayılara fermat sayıları deniyor. eğer bir fermat sayısı aynı zamanda asal sayı ise de bu sayıya fermat asalı deniyor.
fermat asalları:
bu sayıların bu girdi için bizi ilgilendiren özelliklerinden birini de gauss keşfediyor.
gauss zamanında şu girdide bahsettiğim kilitsiz pergel ve ölçüsüz cetvel ile çizilebilmesi mümkün olan çokgen çeşitlerini araştırdığı ve daha sonra detaylıca açıklayacağımız galois teorisi ile ilgili bir çalışma yapıyor ve bu çalışmaya yabancılar gaussian period derken biz hiçbir şey demiyoruz çünkü henüz türkçe çevirisi yapılmamış. bu yüzden ben gauss periyodu olarak bahsedeceğim.
gauss periyodu:
gauss bu çalışması sayesinde yukarıda fermat asalı olarak bahsettiğimiz sayılar kadar kenara sahip olan çokgenlerin kilitsiz pergel ve ölçüsüz cetvel ile oluşturulabileceğini keşfediyor ama "bu zaten belli işte kanıtlamaya gerek yok" diyerek kanıtlamakla uğraşmıyor. böylelikle kilitsiz pergel ve ölçüsüz cetvel ile mesela 257 kenarlı ve 65537 kenarlı çokgen oluşturulabileceği matematiksel olarak biliniyor.
bunun üzerine daha önce kendisinden basit görünen 4 imkansız problem yazısında detaylıca bahsettiğim fransız matematikçi pierre wentzel "hazır imansızlara girişmişken imkanlıları da kanıtlayayım bari" diyerek gauss'un söylediği "fermat asalları ile düzgün çokgen yapılabilir" önermesini kanıtlıyor.
bu noktada ortada hayali bir çokgen var ve bu çokgenin yapılabileceği kanıtlanmış oluyor. sadece bu çokgenin nasıl oluşturulacağı bilinmiyor ve daha önce hiç yapılmamış.
65537 kenar biraz fazla olduğu için insanlar "nasıl yapılır acaba" dese de bu çokgeni oluşturmak için çaba gösterme çılgınlığına girişmiyorlar. tabii johann gustav hermes hariç.
hermes biraz takıntılı bir matematikçi ve bu problem üzerine kafayı takıp tam on yıl boyunca 65537 kenarlı düzgün çokgen oluşturmanın yolunu arıyor. bu on yıllık çalışma sonucunda 65537 kenarlı çokgen çizmeyi sağlayacak bir algoritma geliştirmeyi başarıyor ve yalnızca bu algoritmayı açıklamak 200 sayfa tutuyor.
peki hermes neden böyle bir şey için 10 yıl uğraşıyor? ne işimize yarayacak bu çokgen?
meraktan uğraşıyor sevgili sözlük.
matematikte çoğu şeyin günlük hayatta kullanışlı özellikleri vardır ve bu özellikler hayatımızı kolaylaştırır ama bazı şeyler kullanışlı olmak zorunda değildir.
zaten matematikçiler bir şeyler keşfetme peşinde koşarken "şu şeyi keşfedeyim de günlük hayatta işe yarasın" mantığıyla değil, sırf meraktan o şeyin peşinde koştukları için keşfederler. onlar bu keşifleri yaptıktan sonra birileri bu keşiflerin kullanışlı olduklarını ve işimize yarayabileceğini düşünür ve işimize yarar hale getirirler ancak bu keşifler her zaman işe yarayabilen şeyler olacak diye bir koşul yoktur. işe yarar hale getiren o kişiler de genellikle mühendisler olur.
ben bu durumu ders verdiğim çocuklara kendi uydurduğum şu hikaye ile anlatıyorum:
dağlarla çevrili bir köy varmış ve bu köyde çok zeki insanlar yaşarmış. dağlar çok yüksek ve tehlikeli olduğu için insanlar bir türlü köyden çıkamazmış ama dağların ardında neler olduğunu da merak eder, bu konuda fikir yürütürlermiş. köyün araştırmacılarından biri köyün çevresine bakarak yürüttükleri mantık sayesinde dağların ardında bir ejderha yaşadığı fikrini benimsemiş. bu fikri söyleyen araştırmacının zekasına saygı duyan başka bir araştırmacı, ejderha fikrinin doğru olduğunu kanıtlayabilmek için köyün çevresinde araştırma yapmış ve ejderha kalıntıları bulup köyün ardında ejderha yaşadığı fikrini pekiştirmiş.
yine de köydeki üçüncü bir araştırmacı ejderhayı görmek istiyormuş ve bunu sadece dağlardan birinin tepesine çıkarak yapabileceğini ama dağa tırmanmanın mümkün olmadığını biliyormuş. insanlığını, merakını ve ejderhayı görme isteğini bastıramadığı için hiçbir işine yaramayacak olsa da sırf ejderhayı görebilmek için hayatı boyunca düşünerek, çalışarak ve enerji harcayarak ejderhayı görebilmesi sağlayacak dağlardan da uzun bir kule inşa etmiş. kuleye son çiviyi çaktıktan sonra en tepesine çıkıp dağların ardına bakmış ve ejderhayı görüp rahatlamış. köylüler zaten orada ejderha olduğunu bildiği için ejderhayı görebilmek köylülere fazladan bilgi kazandırmamış. ama üçüncü araştırmacı hiç değilse köylülere ejderhayı görme imkanı sağlamış.
bu hikayede birinci araştırmacı gauss, ikinci araştırmacı wentzel, üçüncü araştırmacı da hermes oluyor.
ejderhayı merak etmedikleri için kulenin tepesine çıkıp ejderhayı görmek için çaba sarf etmeyecek insanlar hermes'e bu kuleyi inşa ettiği için aptal muamelesi yapabilir.
ancak ben köyün kuleyle birlikte daha güzel bir köye dönüştüğüne inananlardanım.