Sonsuz Asal Sayı Olduğunun Kanıtı Nedir?
sonsuz asal sayı olduğu, öklid'in 2000 yıldan uzun süre önce elementler kitabının 9. cildinin 20. önermesinde tereyağından kıl çeker gibi yaptığı bir kanıttır.
önce kanıtın görseli, 9. ciltteki 20. önerme
peki öklid bu kanıtı nasıl yapıyor?
direkt olarak sonsuz sayıda asal olduğunu kanıtlayarak değil, sonsuz sayıda asal olmamasının imkansız olduğunu kanıtlayarak. yani öklid aslında bize sonsuz sayıda asal vardır demiyor, sınırlı sayıda asal olamaz diyor ve biz bu şekilde sonsuz adet asal sayı olduğunu anlıyoruz.
kanıtı anlayabilmek için önce sayılar hakkında bilmemiz gereken bir şey var:
1'den büyük tüm sayılar ya asaldır ya da iki asal sayının çarpımıdır. yani basitçe bir sayı çift ise asal sayı olan 2'nin bir katıdır, tek ise de ya 2 dışındaki asal sayılardan birinin katıdır ya da kendi başına asal sayıdır.
şimdi kanıta geçelim
matematikte bir hipotez hakkında 2 ihtimal vardır. o hipotez ya doğrudur ya da yanlıştır.
diyelim ki biz direkt olarak bir hipotezin doğru olduğunu kanıtlamak istiyoruz ama bunu yapmak çok zor. bu durumda direkt kanıt yapmak yerine o hipotezin yanlış olduğunu varsayıp çelişki bulabilirsek dolaylı yoldan o hipotezin doğru olduğunu kanıtlamış oluruz. buna latince reductio ad absurdum, türkçe ise olmayana ergi denir.
hipotezimiz: sonsuz adet asal sayı vardır.
şimdi bu hipotezin yanlış olduğunu varsayalım. bu durumda "sonsuz adet asal sayı yoktur" sonucuna varırız. bu da bize asal sayıların sınırlı olduğunu, yani sayılabilir olduğunu gösterir.
asal sayıların sınırlı olduğunu kabul ettiğimizden n tane asal sayı vardır diyebiliriz. bu durumda her asal sayıyı a1, a2, a3 diye listelersek (a1, a2, a3, ... an) şeklinde bir liste yazabiliriz.
şimdi bu listedeki bütün sayıları çarptığımızı ve bu sayıya b dediğimizi farz edelim.
b( a1 x a2 x a3... x an )
a1 sayısı ilk asal olan 2'yi temsil ettiği için b sayısının bir çift sayı olduğunu biliriz çünkü 2 ile neyi çarparsınız çarpın sonu çift olur.
eğer çift bir sayıya 1 eklersek sonucun tek bir sayı olacağını da biliyoruz.
şimdi b sayısına 1 ekleyip ne olduğuna bakalım
b+1 tek bir sayı olduğu için 2'ye ve 2'nin kartlarının hiçbirine tam bölünemez.
tüm sayılar ya asal sayı ya da en az bir asal sayının tam katı olmak zorunda olduğu için b+1 sayısı ya asaldır ya da bir asal sayının katıdır.
b+1 sayısını tüm asal sayıların çarpımınım 1 fazlası olarak yazdığımız için b+1 sayısını hangi asal sayıya bölmeye çalışırsak çalışalım 1 artacaktır ve tam bölünemeyecektir.
örneğin mesela 87. asal sayı olan a87 sayısına bölersek (b+1)/a87 işlemi tam sayı vermez çünkü hangi asal sayıya bölersek bölelim tam sonuç çıkmaz.
bu durumda b+1 sayısı asal sayı olmak zorundadır ama biz en büyük asal sayının an sayısı olduğunu söylemiştik ve b+1 sayısı an sayısından büyük.
e demek ki en büyük asal sayı b+1 sayısıdır desek, bu sefer (a1, a2, a3... an, b+1) şeklinde bir tüm asal sayılar listesi yazıp aynı işlemi tekrar yaparsak bu sefer de b+1 sayısından daha büyük bir asal sayı buluruz.
yani biz nereye kadar liste yaparsak yapalım belirli bir algoritma kullanarak bu listenin son sayısından daha büyük bir asal sayı bulabiliriz.
demek ki asal sayılar liste halinde yazmakla bitmez. yani asal sayılar sonlu değildir. yani asal sayılar sonsuzdur.