ten martini problem (on martini problemi), kuantum fiziğinde almost mathieu operatörü tarafından tanımlanan elektron enerji spektrumunun cantor kümesi olup olmadığını soran problemdir.

almost mathieu operatörü, bir elektronun, düzenli ama tam periyodik olmayan (quasi-periodic) bir manyetik alanda hareketini tanımlar. spektrum ise, sistemin izin verdiği tüm enerji değerlerinin kümesidir.

1970’lerden itibaren ortaya çıkan ve çözülmesinin çok zor olduğu düşünülen bu soru için matematikçi mark kac "kim çözerse ona 10 martini ısmarlayacağım." demiştir ve problem bu şekilde anılmaya başlamıştır.

1974 yılında, daha sonra gödel escher bach kitabı ile pulitzer ödülü alacak olan douglas hofstadter, bir kristal ızgara ve manyetik alan altında elektronların enerji seviyelerini incelemek isteyen bir grup teorik fizikçiyle çalışırken, analitik yaklaşımlar yerine pratik bir yöntem denedi. rasyonel değerler için schrödinger denklemini hp 9820a hesap makinasıyla sayısal olarak çözdü ve sonuçları grafik kağıdına aktardı. bu grafikteki desen, kelebek kanadına benzediği için hofstadter kelebeği olarak biliniyor.

içgüdüleri ona bunun derin bir matematiksel gerçeği yansıttığını söylüyordu. "bir kaplanı kuyruğundan yakaladığım çok açıktı," dedi. kaplanı tanıdı. bu cantor kümesiydi. rasyonel değerler için enerjilerin mümkün olduğu bölgelerin ve yasak alanların cantor kümesine benzeyen fraktal desenler oluşturduğu fark edildi. hofstadter, değeri irrasyonel olduğunda bu desenin gerçekten bir cantor kümesi olacağını öne sürdü.

2003 yılında, schrödinger denklemine gömülü fonksiyonu yıllarca inceleyen svetlana jitomirskaya, kariyeri boyunca sürdürdüğü on martini problemini kanıtlama hedefinden vazgeçmişti çünkü bir yıl önce, joaquim puig adında bir araştırmacı bunu birkaç irrasyonel alfa değeri sınıfı dışında tümünde kanıtlamıştı. bu yüzden, 24 yaşındaki artur avila adlı bir matematikçi onu ziyaret edip alfanın kalan değerleri üzerinde çalışmayı önerdiğinde şaşırdı. bunun çok zor, çok zaman alıcı olacağını ve kimsenin umursamayacağını düşündü.

buna rağmen problem üzerinde çalışmaya devam ettiler. 2005’te artur avila ve svetlana jitomirskaya bu problemi çözerek spektrumun gerçekten bir cantor kümesi olduğunu ispatladılar. bu ispatın adı da "ten martini proof" (on martini ispatı) olarak anıldı. kanıtları alanının en prestijli dergisi olan annals of mathematics'te yayımlandı. avila daha sonra kısmen bu sorun üzerindeki çalışmalarından dolayı fields madalyası kazandı.

ancak bazı açılardan, kanıt pek tatmin edici değildi. jitomirskaya ve avila, yalnızca belirli irrasyonel alfa değerlerine uygulanan bir yöntem kullanmışlardı. bunu, kendisinden önce gelen bir ara kanıtla birleştirerek, sorunun çözüldüğünü söyleyebilirlerdi. ancak bu birleşik kanıt yeterince şık değildi. her karesi farklı argümanlardan oluşan bir yamalı bohçaydı.

sonunda, 2013 yılında columbia üniversitesi'ndeki bir grup fizikçi, hofstadter kelebeğini bir laboratuvarda görüntüledi. iki ince grafen katmanını manyetik bir alana yerleştirdiler ve ardından grafenin elektronlarının enerji seviyelerini ölçtüler. kuantum fraktalı tüm ihtişamıyla ortaya çıktı. jitomirskaya, "birdenbire matematikçinin hayal gücünün bir ürünü olmaktan çıkıp görünür bir şeye dönüştü," dedi.

ten martini problem, fizik ile matematik dünyasındaki olguların sentezlendiği, birçok araştırmacının katkısının olduğu, önce sezgisel olarak ortaya çıkan, daha sonra nümerik olarak gözlemlenen, analitik olarak kanıtlanan ve sonunda da deneysel olarak ölçülerek sonuçlandırılan bir problemdir. ayrıca, bu alanlardaki başka bir araştırmanın geçmesi muhtemel olan adımları da göstermektedir.

kaynak: quantamagazine.org