matematik, ilk olarak mısır ve mezopotamya’da ortaya çıkan, ardından yunan, islam-hint coğrafyası ve daha sonra batıya geçiş yapan, eski dönemlerde çin coğrafyasında da kafa yorulmuş, insanlığın ortak mirası olan iletişim aracıdır.

antik çağlardan 16. yüzyıl'a kadar formüllerle ve sembollerle değil sözel olarak ifade edilmiş, ilk olarak gündelik nedenlerle ölçme ve sayma amacıyla ve sayı-rakam bazlı yani aritmetik, ardından denklem çözme mantığıyla cebirsel ve trigonometrik olarak astronomiye yardımcı olarak ilerlemiş, daha sonra ise kalkülüs ve analitik geometrinin keşfiyle analiz bazında gelişerek tüm bilim dallarında dünyada çağ atlanmasının önünü açmış bir araçtır.

peki, yazımızın da konusu olarak, olabildiğince özet bir şekilde matematiğin tarih boyunca gelişiminden yola çıkarak medeniyetlerin düşünce yapısı hakkında neler söyleyebiliriz?

ilk olarak mısırlılar, kendilerinden sonra gelen romalılar gibi sayıları göstermek için 10’luk tabanı kullanmışlardır. hiyeroglif ve hiyeratik yani rahiplerin kullandığı 2 sistem vardır. hiyeroglif sistemde 1, 10, 100... sayılarına semboller atanırken rahiplerin sisteminde diğer sayılara da tanımlamalar yapılmıştır.

hiyeroglif yazıda sayılar

hiyeratik yazıda sayılar

ayrıca mısır’da kesir mantığı “birim kesir” olarak kendini gösterir. bunun için de sayıları gösteren sembollerin üzerine fazladan eliptik sembol getirilerek ilgili sayı 1/.. şeklinde ifade edilir. buradan çıkarılması gereken sonuç antik mısır medeniyetinin düşünme biçimidir. örneğin 5 adet ekmek 8 kişi arasında paylaştırılırken bugünün kafasına göre her bir ekmeği 8 dilime böler ardından 5’er tane alırız. ancak mısır düşünce biçiminde birim kesir mantığı vardır. yani 1 ekmek 8’e, kalan 4 ekmek ise 2’ye bölünerek 1/8 kesiri ile ½ kesiri oluşturulup bu ikisinin toplamı kişi başına düşen pay olarak hesaplanır.

mısır matematiğinde kesirli gösterim

mezopotamya’da yaşamış babil ve sümerler ise günümüzde denizcilik ve astronomide kullanılmaya devam eden 60’lık sayı sistemini kullanmış ve aritmetik bilginin önemli bölümünü kendileri geliştirmişlerdir. mısır’daki papirüsün aksine mezopotamya’yı daha dayanıklı kil tabletler üzerine yazdıkları çivi yazılarıyla tanıyoruz bugün. babil sayı sistemi denilen bu sistemde 2 adet sembol bulunup bunlar 1 ve 10’u temsil ederler. bu 2 sembol 59 farklı gösterim yani 59 farklı rakamı oluşturur. bizdeki her sayının 0’dan 9’a kadar yazılması gibi bu sistemde de 1’den 59’a kadar olan rakamlar kullanılır.

tabii burada da tıpkı mısır ve roma’da olduğu gibi en büyük eksik “0”. mezopotamya matematiğinin bilhassa aritmetikte kendinden öncekilere oranla ileri seviyede olması sıfırın eksikliğini daha çok hissettirmiştir. 1 rakamını 60’ı ifade eden rakamdan ayıracak, yani boş basamağı belirtecek herhangi bir simge olmadığı için biraz boşluk bırakarak bu eksiği giderdiler. (bizim 10’luk sistemde 1 ile 10’un farkı gibi düşünelim) sıfırın eksikliği aşağıdaki görselde açıkta görülmektedir.

babil rakamları

1 sayısı ile 60 sayısı arasında gösterim farkını yaratacak bir sembolün olmaması ve bu medeniyetlerin sıfır için bir çözüm üretmeme nedenini matematiğin soyut ve teorik anlamından ziyade gündelik ihtiyaçlara cevap verebilecek amaçlarla kullanılmasını düşünebiliriz.

temelini mısır ve mezopotamya matematiğinden alan yunan matematiği ise kurumsal anlamda kimliğini thales ve pisagor ile bulur ve sadece gündelik ihtiyaçlara cevap veren anlayıştan soyut düşünceye geçişin öncülerindendir. matematiği tam ve pozitif sayılar yani belirleyebildiği ve ölçebildiği uzunluklar üzerine inşa eden pisagorcular, yatay ve dikey olarak 1 birim uzunluğunda çizgilerin arasını bugün “köşegen” dediğimiz bir uzunlukla birleştirdiklerinde günümüzde kök2’ye karşılık gelen bu uzunluğun ölçülemez olduğunu görmüşlerdi. bu onlar için belki de ilahi bir anlam ifade eden oran ve uyum kavramının yıkılıp oransızlığın keşfiydi.

beraberinde edoxus, oran ve orantı kavramlarını geliştirerek pisagorcu anlayışı değiştirmiş, bu oran orantı düşüncesi sayesinde sayının sadece 2 tam uzunluğun oranı olarak tanımlandığı tamsayı kavramının dışına çıkarak irrasyonel sayı düşüncesinin kıvılcımını oluşturmuştu. yani örneğin 1 ile 2 arasında bilebileceğimiz sonsuz derecede sayı olduğu fikri ve beraberinde aslında bunun bir oransızlık değil matematiğin daha başka boyutlarının keşfi olduğunun temeli atılmıştı.

daha sonra ise öklid, elements yani öğeler isimli eseriyle hem ortogonal geometrinin hem de matematiği teorem, aksiyom gibi kavramlarla kurumsallaştırarak analitik düşüncenin temellerini atıyordu. antik yunan’da matematik, ölçümlerden ziyade karşılaştırmalara dayanıyordu. yani bugünkü bildiğimiz geometrik alan vs. formüllerinin kaynağı bu oran-orantı düşüncesinin getirdiği karşılaştırma mantığıydı.

örneğin arşimed pi sayısını yani dairenin alanı ile çevresi arasındaki oranı bulabilmek için köşegen karşılaştırması yaptı. bir çemberin içine ve dışına sınırlarına değecek şekilde dörtgen, beşgen, altıgen vs. yerleştirerek çember ile köşegen arasındaki boşluk farkını minimuma indirgeyebileceği ve çizebileceği maksimum çokgene yani 96gene ulaştı. böylece pi sayısını 3’ün 1/7 fazlası ile 3’ün 10/71 fazlası arasında bir değerde bularak oldukça hassas bir yaklaşım göstermişti. peki arşimet bunu neden yaptı? çünkü mükemmel bir daire çizmek ve bunu da ölçebilmek mümkün değildi. çizebildiği en büyük kenara sahip çokgen bu daireye en yakın şekildi. ortaya çıkan bu şeklin alanı ile çevresi arasındaki oran ise pi’ye yani gerçek dairedeki sayıya ne kadar yaklaşıldığını göstermekteydi. kafada daha iyi oturması için bizi pi’nin keşfine götüren aşağıdaki şekilleri inceleyelim:

pi sayısına geometrik yaklaşım

pi sayısına geometrik yaklaşım-2

pi sayısının bugünkü basamaklarına 2000 yılı aşkın süre içerisinde farklı dönemlerde gittikçe daha da yaklaşıldı. limit kavramının ve serilerin tam anlamıyla anlaşılması ve program dilinin gelişmesiyle artık şekiller çizmeden veya el hesabı yapmadan formüller ve kodlar sayesinde istediğimiz basamağa kadar gidebiliyoruz.

anlaşılacağı üzere antik yunan’da matematik, geometri ve aritmetik temelliydi. çözülmeye çalışılan problemler de daha ziyade ölçülebilir ve çizilebilir değerler yani pozitif sayılar ve geometri üzerineydi. yunan matematiği, mısır ve mezopotamya’daki sayı kavramından kurumsal bir matematik ortaya çıkarıyordu. ve yine islam ve hint coğrafyasına “denklem çözme” yani cebir mantığının mirasını diophantus ile bırakacaktı. diophantus, kökleri sadece tamsayı olan denklemler kurmuş, bu denklemleri eşitliğin iki tarafına da ekleme/çıkarmalar yaparak ve de iteratif şekilde bilinmeyenin yerine sayılar koyarak çözüme yaklaşma şeklinde oluşturmuştur.

islam coğrafyası ise hint coğrafyasından gelen ve batıda “hint-arap sayı sistemi” denilen, sıfırı da içine alan sistemi kullanmış ve harezmi vb. diğer bilginlerle birlikte algoritma mantığını kurumsallaştırmıştır.

harezmi’nin eserlerinde tartışılan tipik bir problemin temsili ise şöyledir: “bir sayının karesi ve o sayının on katının toplamı 39 sayısına eşittir.” bu sayı kaçtır? harezmi ve matematik kültürü bu problemi günümüzde liselerde öğretilen denklem formülleriyle çözecek imkana sahip değildi. bunun yerine 2 yöntem izlendi:

ilkinde algoritmayı kelimelerle yani sözel şekilde oluşturur. yani denklemi şöyle ayırır: sayının katsayısını 2’ye böl 5 eder, 5’i kendisiyle çarp 25 eder, buna 39 eklerseniz sonuç 64 olur, 64 ise 8’in karesidir. 8’den katsayının yarısı olan 5’i çıkarırsanız kalan 3’tür. bu istediğimiz sayıdır. yani harezmi burada liselerde öğretilen 2 bilinmeyenli denklemleri formüllerle değil kelimelerle, iyileştirme ve denkleştirme yoluyla yani asıl mantığıyla, algoritmayla çözmektedir.

harezmi’nin ikinci problem çözme metodu ise geometriktir. yani bilinmeyen sayının karesini yani günümüzdeki ifade ile x^2 ifadesini kenar uzunluğu x olan bir kare çizerek, 10*x ifadesini ise bir kenarı 10 bir kenarı x olan bir dikdörtgen olarak kabul edip bunu da 2 adet bir kenarı x diğer kenarı 5 olan dikdörtgene ayırıp ilk çizdiği karenin alanına ekleyerek gösterir. ortaya çıkan şekli çizgilerle tamamlayarak bir büyük kare oluşturur. tamamladığı çizgiler, alanı 25 ve bir kenarı 5 olan bir başka karedir. ve ortaya sonucu/alanı 39+25 olan, bir kenarı ise x+5 olan bir büyük kare çıkar. daha rahat anlaşılması için görselle göstermek istersek:

harezmi'nin 2.dereceden denklem çözümü

bugün neredeyse sadece rubaileri ile tanıdığımız ömer hayyam ise bu gelenek içerisinde ekstra işler yaparak 3. dereceden denklemlerin birden fazla kökünün olabileceğini geometrik şekilde göstermişti. parabol, tek dereceli bir çizgi ve dairenin kesişimleriyle bir çözüm algoritması oluşturmuştu.

ömer hayyam'ın 3.dereceden denklem çözümü

nasireddin el tusi ise astronomik hesaplara temel olması amacıyla sinüs cetvelleri hazırlamış ve kopernik’e değin astronomi ile ilgili en önemli hizmetlerden birini vermişti. ve onun bu çalışmaları trigonometriyi astronominin aracı olmaktan çıkarıp bağımsız bir uğraş haline getirerek matematiğin bir ana dalı haline getiriyordu.

islam coğrafyasının en büyük avantajı hint coğrafyasında bugünkü kullandığımız rakam-sayı sistemlerinin babası sayılan aryabhata gibi ve karekök hesabı ve ikinci dereceden denklem çözümlerinin yanı sıra “negatif sayı” kavramlarına da değinmiş brahmagupta gibi soyut düşünceye de sahip hint matematiği ile geometrik temele ve yine denklem çözümlerine dayanan yunan matematiği’nin mirasını harmanlamasıydı.

batı medeniyetine geçmeden önce şunu özellikle belirtmek gerekir ki 0, negatif sayı ve negatif kök kavramı hint matematiğinde bahsedilse de kurumsal anlamda ne yunan coğrafyasında ve islam coğrafyasında üzerine düşünülen ve çok tercih edilen bir konu olmamış ve batıya kadar matematiğe bağımsız bir giriş yapamamıştır.

ayrıca yine bu çağlarda gördüğümüz üzere matematik formüllerle değil, sözel olarak ve geometrik olarak ifade edilip problemler böyle çözülmekteydi.

yazının bundan sonraki kısmını oluşturacak batı matematiğinden ise -bugünkü lise ve daha üstü akademik konuları kapsadığı için- genel okuyucuyu bunaltmamak adına teknik anlamda daha ziyade yüzeysel olarak bahsetmekte fayda vardır.

batı, leonardo fibonacci ve endülüs coğrafyası sayesinde hint-arap rakamları, cebir, antik yunan matematiği ve islam coğrafyasının matematiği ile tanıştı. örneğin niccolo tartaglia 3. dereceden denklemlerin çözümlerini yapmaya başlamışken gerolamo cardano ise negatif sayıların kökleri üzerine isabetli çalışmalar yaptı. günümüzde “karmaşık sayılar” olarak bilinen ve lise müfredatında yer alan bu sayılara kitabında yer veren cardano yine de bu sayıları “akıl işkencesi” olarak tanımlamıştı. “karmaşık sayılar kavramı”nı kafada oturtabilmek ise rafael bombelli’ye düşmektedir. yine aynı dönemlerde ludivico ferrari 4. dereceden denklem çözümlerini 3.dereceye indirgeyebilmişti.

ancak rönesans avrupasının bu gelişimi françois viete isimli bir fransızın ilk modern cebirsel gösterimleri yapmasıyla matematiğin formülize edilebilmesini getirdi. onun eserlerinde bilinmeyenler sessiz bilinenler ise sesli harflerle gösterilerek bugün bildiğimiz matematik dilinin temelleri atılmıştı. matematik artık sözel ve geometrik olarak değil sembol ve formüllerle çalışılacaktı.

astronominin de benzer dönemlerdeki kurumsal gelişimi, bizleri john napier tarafından gökcisimleri arasındaki uzak mesafelerin çok büyük sayılarla gösterilme zorunluluğunu ortadan kaldıran logaritmanın keşfine götürmekteydi.

bu tarihlerden sonra sadece matematiğe değil dünyaya çağ atlatan gelişmeler yaşandı. şerafeddin tusi’nin 500 yıl evvel bahsine değindiği bir eğrinin maksimum, minimum ve tanjant noktaları fermat tarafından türevin temelleri olarak atılıyordu. yine rene descartes kendi adından gelen kartezyen koordinat sistemini ortaya çıkararak analitik geometrinin temellerini atmıştı. yakın zamanlarda newton ile leibniz’in birbirlerinden bağımsız çalışmaları neticesinde “integrasyon” ve “differansiyel” yani türev ve integral bulunuyordu.
analitik geometrinin, türevin ve integralin keşfi o kadar önemliydi ki batı bu vesileyle analitik düşüncenin temellerini atıyor, bir problemi nokta nokta koordinatlarına ayırarak çözümlemeyi öğreniyor, zamana bağlı türev anlayışıyla hız, konum, debi, nüfus, maliyet, enerji gibi büyüklüklerin anlık ve gelecekteki sonuçlarını belirleme ve analiz etme imkanı kazanıyordu. böylece fizik, biyoloji, iktisat, fizyoloji, akışkanlar mekaniği gibi bilim dalları matematiğin bu keşfiyle çağ atladı.

örneğin leonhard euler, analizi yeni bir bilim dalı olabilecek seviyeye getirmiş, fonksiyon kavramlarını geliştirmiş yani bu analiz mirasını fizik, sıvı dinamiği, optik gibi kavramlara entegre ederek 30.000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmiştir. ardından louis cauchy limit kavramını bugün okullarda öğrendiğimiz haline getirerek analizi limit üzerine inşa etti. eğrisel integrali tanımladı.

daha sonraları ise analiz kavramı fouier serileri, süreklilik ve yakınsaklık kavramlarıyla daha da gelişerek karmaşık ısı transferi ve akışkanlar problemlerinin çözümlerinin ortaya çıkarılmasını sağladı.

matematiğin gerçek anlamda boyut değiştirmesi ise non-euclidean denilen öklid-dışı geometrinin keşfiyle yapıldı. öklid temeli üzerine kurulu ve bir kağıda yani 2 boyuta çizdiğimizde anlam bulan paralellik teorisinin her zaman geçerli olmadığının keşfiydi bu. hayyam’ın eserlerinde bahsettiği, matematikçilerin prensi ve dünyaya çok önemli katkılar yapmış gauss’un ise daha önceden bulduğunu söylediği öklid-dışı geometri, öklid geometrisinin birbirine paralel olmayan doğruları uzattığımızda mutlaka bir noktada kesişecekleri söyleminin her zaman mümkün olmadığını ve bunun düzlemin şekline göre değişeceğini belirtiyordu.

ayrıca öklid-dışı geometride 2 dik kenarın karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu ispatlayan pisagor teoremi küresel ve hiperbolik yüzeylerde işe yaramıyordu. yani bir uçağın rotası belirlenirken öklid geometrisi yetersiz kalmaktaydı. anlaşılması için aşağıdaki görselleri inceleyelim:

öklid dışı geometri 

öklid geometrisinin uçak rotaları belirlenirken uygulanamaması

matematiğin batıda geldiği bu nokta ise, ileri zamanlardaki evrenin bükülmesiyle ilgili uzay-zaman teorilerine temel olacaktı...

73 Sayısının "Biricik Sheldon Asalı" Olarak Matematik Literatürüne Girmesi