Kaos Dediğimiz Şey, Her Zaman Büyük Bir Düzensizlik Anlamına mı Geliyor?
kaos teorisinin düzensizlikten bahsetmemesi... konu hakkındaki dizilerin, filmlerin, popüler bilim kanallarının ve benzeri kaynakların yanlış yönlendirmesi sebebiyle matematik ile özel olarak ilgilenmeyen insanların yanlış anladığı bir durum.
her şeyi saçma sapan yerlere çeken diziler ve filmler yüzünden kaos teorisi ve kelebek etkisi gibi kavramlar genellikle yanlış anlaşılır ve insanların zihninde "bazı şeyleri hesaplamak imkansızdır, kaos varsa düzen yoktur ve düzeni olmayan şeylerin hesabı yapılamaz" gibi bir algı oluşur. ancak kaos dediğimiz şey düzensizlik demek değildir. kelebek etkisi dediğimiz şey de "bir kelebeğin kanat çırpışı yüzünden ortaya kasırga çıkabilir" demek değildir.
kaotik sistem dediğimiz sistemler düzensiz sistemler değillerdir. kaotik sistemler başlangıç koşullarında yapılacak ufak veri girişi hatalarının geniş zaman diliminde devasa farklılığa sebep olabildikleri sistemlerdir.
peki başlangıç koşulu nedir? başlangıç verisi ile sonuç verisi arasında ne gibi farklılıklar vardır?
başlangıç koşulları dediğimiz şeyler basitçe bizim bir olayın nasıl sonuçlanacağını hesaplamak istediğimizde olayın başlangıcında sahip olduğumuz bilgilerdir.
örneğin biz belirli bir noktaya giden bir okun nereye isabet edeceğini hesaplamak istiyoruz. bu hesabı yapmak için hava sürtünmesi, okun uçuş hızı, okun yüzey alanı, yer çekimi ivmesi, okun şekli gibi bilgilere ihtiyacımız vardır. bu bilgileri kullanarak "eğer ok saatte 20km hızla gidiyorsa, yer çekimi şu kadar kuvvetliyse, okun yüzey alanı bu kadarsa, okun şekli şöyleyse, hava sürtünmesi böyleyse o zaman ok x noktasına isabet eder" şeklinde hesap yapabiliriz.
kaotik olmayan sistemler ile kaotik sistemlerin farkı ise yaptığımız bu hesaplamalardaki ufak değişimlerin hesap sonuçlarına etkilerinin miktarlarıdır.
şimdi ok atma analojimiz üzerinden devam edelim
Analoji: İki farklı şey arasındaki benzerlik veya benzerliklerden hareket edilerek birincisi için dile getirilenlerin diğeri için de söz konusu olduğunu ifade etmek.
diyelim ki ok atma olayı kaotik bir sisteme dahil değil.
bu durumda biz başlangıç koşullarında okun hızını saatte 20 km olarak değil de saatte 20,00001 km olarak hesaplar ve hesap sonucunda okun çarptığı yere bakarsak okun çarptığı yeri x noktası olarak değil de x noktasından çok ufak miktarda uzaklığı olan bir nokta buluruz. mesela ok y noktasına çarpacak deriz ve y noktası x noktasından 0.0001 birim uzakta olur.
şimdi de ok atma olayının kaotik bir sistemde gerçekleşen bir olay olduğunu düşünelim.
bu durumda biz aslında zaten 20 km hızla giden okun hızını yanlışlıkla 20,00001 km zannederek bu ufacık farklı hesaplamaları yaparsak, hesaplamamız sonucunda okun x noktasından 0.0001 birim uzaklıktaki y noktasına çarptığını değil de gidip başka bir gezegene isabet ettiğini falan hesaplarız.
yani aslında kaotik sistem düzensiz sistem demek değildir. kaotik sistem doğru hesap yapmak istiyorsak başlangıç koşullarının her birini tamamen doğru biçimde bilmek zorunda olduğumuz sistemlerdir.
kelebek etkisi analojisi de aslında bundan ibarettir. bu analoji aslında dünyanın bir ucunda kelebeğin biri çarptı diye dünyanın öteki ucunda kasırga çıkabilir demez. bu analojinin demek istediği şey eğer dünyanın bir ucundaki kasırgayı tahmin edebilmek istiyorsak dünyanın öbür ucundaki kelebeğin kanat çırpışına kadar bütün değişkenleri kusursuz bir biçimde bilmek zorunda olduğumuzdur. yani aslında kasırganın çıkmasının sebebi kelebeğin kanat çırpması değildir, kasırga zaten çıkacaktır ama bizim bunu bilebilmek için kelebeğin kanat çırpışına kadar her şeyi bilmemiz gerekir.
bu olayı keşfeden matematikçi edward lorenz kaos teorisini özetlemek için "present can determine the future, but approximate present can not determine approximate future" cümlesini kullanmıştır. bu cümleyi türkçeye basitçe "şimdiki zaman gelecek zamanı belirleyebilir, ancak tahmini şimdiki zaman tahmini geleceği belirleyemez" demiştir.
kaos ile kaos teorisi farkı görseli
peki kaotik sistemleri günlük hayatta gözlemleyebilir miyiz?
yani evde oturup gerçekten başlangıç koşullarının bütün geleceği belirlediği bir sistemdeki ufak değişimlerin ne gibi farklılıklar yaratacağını kendi gözlerimizle görebileceğimiz bir şeyler gözlemleyebilir miyiz?
bu soruya sağda solda genellikle "evet işte hava durumu kaotiktir, güneş sistemi aslında kaotiktir, kaotik sarkaç kullanıp sarkacın yaptığı şekli ışıklandırarak karanlık bir odada video çekip sonra bu videoyu izleyip farklılıkları kıyaslarız ya da yazılım yazarız" gibi aslında gerçekten de evde oturduğumuz yerden gözlemleyemeyeceğimiz örnekler verirler. ancak başlangıç koşullarının çok önemli olduğunu görebilmek için bu kadar zahmete gerek yoktur. matematikçilerin hayal dünyalarında bu gözlem oldukça kolay biçimde yapılabilir.
nasıl mı?
bu yazıdan sonra da hakkında belki onlarca yazı yazacağım muhteşem ingiliz matematikçi john horton conway'in tasarladığı game of life ismindeki, türkçeye "conway'in yaşam oyunu" şeklinde çevrilmiş oyunu oynayarak. bunun nasıl yapıldığını gösterebilmek için üşenmeden oturup birçok varyasyon deneyerek en kolay nasıl anlaşılabileceğini denedim. sonucunda da kaos'un neye benzediğini evde deneyebileceğiniz şekilde gösteren bir video çektim.
ancak videoyu göstermeden önce yaşam oyununun ilkokul çocuklarının bile zorlanmadan anlayabileceği kadar basit olan kaotik kurallarını öğrenmemiz gerek.
yaşam oyunu böyle bir ızgara üzerinde oynanır
oyunun başlangıcında karelerin hepsi boş ve beyazdır ve biz onları istediğimiz şekilde siyaha boyayabiliriz. siyaha boyadığımız karelere canlı hücre ismi verilir ve hangi kareleri siyaha boyadığımıza, yani hangi hücrelerin canlı olduğuna göre ölümler ve doğumlar yaşanır. ilk dizimi yaptıktan sonra oyunu başlatırız ve oyunu başlattığımız an yaşam simülasyonu şu şekilde ilerler:
1- eğer bir canlı hücrenin çevresinde ikiden az canlı hücre varsa o hücre ölür.
2- eğer bir canlı hücrenin çevresinde iki ya üç canlı hücre varsa o hücre hayatta kalır.
3- eğer bir hücrenin çevresinde üçten fazla canlı hücre varsa o hücre ölür.
4- çevresinde tam üç canlı hücre olan ölü hücreler dirilir.
oyun kurallarının daha iyi anlaşılabilmesi için görsel açıklama
oyunun kurallarından anlaşılabileceği üzere bu oyunun başladığı an gelecekte nasıl sonuçlanacağı tamamen canlı hücreleri ilk başta nasıl dizdiğimize bağlıdır ve oyunun en başında yapılmış çok ufak herhangi bir değişikliği es geçersek oyunun geleceği hakkında yapacağımız hesap hatası ve iki farklı oyun başlangıcının sonuçları arasındaki fark devasa boyutlara ulaşacaktır.
yani mesela biz yan yana olan 12 canlı hücrenin nasıl bir sonuç çıkaracağını hesaplarken eğer bu 12 canlı hücreden birinin yerini bile yanlış olacak şekilde tek birim yukarıda veya aşağıdaymış gibi hesaplarsak varacağımız sonuç inanılmaz derecede farklı olacaktır.
bunun farklılığı göstermek için çektiğim kısa video: kaos teorisi ve conway'in yaşam oyunu
videodan da görülebileceği üzere oyun her ne kadar tamamen düzenli ve belirli kurallara sahip olsa da gelecek hakkındaki tahminlerimiz oyunun başındaki dizimler hakkında en ufak bilgisizliğimiz sebebiyle uçup gidiyor ve tahmini şimdiki zaman ile yaptığımız gelecek hesaplamaları tamamen kullanışsız hale geliyor.
oyunu bilgisayardan oynayarak denemek isteyenler için oyunun linkini bırakayım: game of life
mobilden oynayarak denemek isteyenler için 1 mb bile etmeyen uygulama linki: play store
ileri okuma ve kaynakça için:
game of life wiki
kaos teorisi stanford
kaos teorisi ve game of life ilişkisi tartışması