Halı Deseninde Sonsuzluğu Bulmanıza Olanak Sağlayan Olay: Hilbert Eğrisi
halı deseninde sonsuzluğu görmemizi mümkün kılabilecek olan bu hilbert eğrisi ne ola ki?
hilbert eğrisi dediğimiz şey aslında bugünkü eğri konseptimizden farklı olarak daha önce kendisinin sonsuzluk otelinden bahsettiğim alman matematikçi david hilbert'in icat ettiği, belirli bir algoritma doğrultusunda örüntü oluşturarak iki boyutlu uzay kaplayabilen çizgilerdir.
iyi de belirli bir algoritma doğrultusunda ilerlemek, örüntü oluşturmak veya uzay kaplamak ne demek ki? bunları anlamak için önce çizginin sonsuzluğunu, sonra algoritma dediğimiz şeyin ne anlama geldiğini, sonra da uzay kaplama mantığını anlamamız gerekir.
ancak bunlara geçmeden önce yazının sonunda nasıl bir halı deseninde sonsuzluğu bulacağımızı görebilmek adına, hilbert eğrisinin birkaç görselini bırakayım.
hilbert eğrileri
hilbert eğrilerin içeren bir halı
hilbert eğrileri içeren bir örgü
öncelikle anlamamız gereken şey, sonsuzluğun her zaman büyüklükle ilgili değil, aynı zamanda küçüklükle ilgili de olduğudur. çoğu insan sonsuzluk kavramını hayal edilemeyecek düzeyde büyük olan şeyler ile ilişkilendirir, sonsuzluğu büyük bir kavrammış gibi algılar. ancak sanılanın aksine günlük hayatta neredeyse her zaman hayal edilemeyecek kadar büyük sonsuzluklarla değil, hayal edilemeyecek kadar küçük sonsuzluklarla uğraşırız. bu türden sonsuzlukları kullanarak evlerimizi inşa eder, dünyayı internet ağıyla birbirine bağlar, yapay zeka denilen şeytan işi programlar geliştirip onlara e-maillerimizi yazdırırız. elimizdeki telefondan tutun, yemek yediğimiz kaşığın dizaynına kadar neredeyse her şey için sonsuzluğa başvurur, sonsuzluk hakkındaki bilgimizden yararlanırız. çünkü kendisi bilim olmamasına karşın yabancıların deyişiyle tüm bilimlerin kraliçesi olan matematik disiplininin kalbinde sonsuz küçüklük kavramı yatar. bu konsept, daha önce matematik ve fizik farkı başlıklı girdide de açıkladığım şekilde geometri konusunun birinci aksiyomunda, yani gerçek anlamda en temelinde yatar.
sonsuz küçüklük kavramı ile geometrinin ilişkisini anlamak için yukarıda linkini verdiğim girdiyi okumak istemeyenlere yüzeysel de olsa bir özet geçmek istiyorum.
halihazırda günümüzde kullanılan ve okullarda öğretilen geometri, binlerce yıllık matematik geleneğinin birikimli biçimde günümüze aktarılmış halidir. ancak sistematik matematik kavramı, yani aksiyom ve teorem ekseninde geliştirilen matematik günümüzden 2300 yıl önce öklid'in elementler kitabı ile başlamıştır. öklid toplam 13 ciltten oluşan bu devasa eserde günümüzde birçoğu hala geçerliliğini koruyan onlarca geometri teoremini kanıtlamak için ortaya birkaç aksiyom atarak işe başlamış ve 13 cilt boyunca bu aksiyomları kullanarak tarihte eşi benzeri görülmemiş bir başarıya imza atmıştır. öyle ki, öklid'in elementler'i matbaanın icadından bu yana incil'den sonra en çok basılmış ikinci kitaptır.
bu kitapta öklid geometri yapmaya başlamadan önce, yani en başta şu ifadeleri kullanır:
1- nokta, hiçbir parçası olmayandır.
2- çizgi, genişliği olmayan uzunluktur.
3- çizgilerin uçları noktalardır.
4- düz çizgi, üzerinde eşit miktarda dağılmış noktaların yattığı şeydir.
5- bir yüzey, sadece uzunluğu ve genişliği olandır.
6- yüzeyin uçları çizgilerdir.
bugün noktalarla çizgilerle uğraşırken bu konuda pek düşünmesek de nokta dediğimiz şey tanımı gereği sonsuz küçüklükte olduğu iddia edilen hayal ürünü bir konsepttir. daha da ilginci çizgi dediğimiz şey hem sonsuz küçük noktaların bir araya gelmesiyle oluşan, hem de bir uzunluğu olduğu halde genişliği olmayan hayali konsepttir.
düşünsenize, bir şey olacak ve bu şeyin uzunluğu olacak ama genişliği olmayacak. ayrıca bu şey sonsuz küçük parçalardan oluşacak. günlük hayatımızda bu tanımlara uyan bir şey var mı? varsa nedir ve nasıl mümkün olabilir? bu konuda daha fazla bilgi edinmek için yukarıda bıraktığım linkteki yazıyı okuyabilir, ya da onu atlayıp halı desenimizden devam edebiliriz.
çizginin sonsuzluğundan çok az da olsa bahsettiğimiz için şimdi hilbert'in uzay kaplayan desenine geçebiliriz.
lisede bile olsa tek bir analitik geometri dersine girmiş insan bilir ki, kartezyen koordinat sistemi şeklinde isimlendirdiğimiz iki boyutlu öklid uzayı, yani yüzey, sonsuz küçük parçalara ayrılabilecek biçimde tasarlanmıştır. işin güzel tarafı, her ne kadar bu yüzey sonsuz küçük parçadan oluşmuş da olsa, bu parçaların her birini temsil edecek bir tarif uydurmak mümkündür.
koordinat sisteminin nasıl oluşturulduğunu ve ne tür özelliklere sahip olduğunu bir milyon dolar ödüllü matematik problemi başlıklı yazımda mümkün olduğunca detayla açıklamaya çalışmıştım. ben yine basitçe üzerinden geçeceğim, ancak dileyen o yazıyı okuduktan sonra bu yazıya devam edebilir.
şimdi elimizde iki x ekseni ve y ekseni ismini verdiğimiz iki doğru ve bu doğrular arasında kalan alana yayılmış sonsuz yüzey var. bu iki doğru arasında kalan yüzey, iki boyutlu öklid uzayıdır ve her ne kadar sonsuz genişlikte ve küçüklükte de olsa bu yüzeydeki her bir noktanın yerini matematiksel dilde tarif etmek mümkündür.
koordinat sistemi ve noktalar
görselde de görülebileceği üzere eğer siz bir koordinat sistemindeki herhangi bir yere parmağınızı basıp "bura neresi" diye sorarsanız, daima sorunuzun cevabı olacak bir nokta bulunur. mesela sorunuza "orası (0, 1) noktası " veya "orası (18, 0.011020) noktası" şeklinde verilecek bir cevap bulunur.
buraya kadar her şey tamam ise zurnanın hilbert dediği yere gelelim. aslında olay hilbert'ten ziyade peano da, ben hilbert desenine daha hakim olduğum için zurna şimdilik hilbert desin.
şimdi diyelim ki siz sonsuz parçaya bölünebilme özelliğine sahip olan yüzeyi onun varlığını direkt olarak kabul etmek yerine çizgi konseptinden yaratmak istiyorsunuz. yani başka bir deyişle, sadece çizgi çizerek sonsuz parçaya sahip olan bir yüzeyi nasıl doldurabilirim diye düşünüyorsunuz.
burayı tam anlatamamış olabilirim, o yüzden yeniden deneyeyim.
elinizde bir kartezyen koordinat sistemi var ve bu kartezyen koordinat sistemindeki her yerin, ama her yerin ismi "(0,0 noktası) gibi isimlerle belirlenmiş durumda. matematik öğretmeniniz dersten 0 alın diye size "bu yüzeye öyle bir çizgi çek ki bu çizginin üzerinden geçmediği tek bir nokta bile olmasın" diyerek ödev verdi. siz de matematik dersinden kalırsanız okuldan atılacağınız için böyle bir çizgi çekmenin yollarını arıyorsunuz.
1900'lü yılların başlarında, sonsuzluk ve kümeler kavramları henüz bu kadar ilerlememişken matematikçiler böyle bir çizgi çekmenin mümkün olmadığını düşünüyorlardı. ancak bugün ismini peano aritmetiği ile bildiğimiz ( ya da bilmediğimiz) italyan matematikçi guiseppe peano 1890 yılında böyle bir çizgi çekmenin yolunu buldu. peano'dan bir yıl sonra, yani 1891 yılında da hilbert "ben bunun daha iyisini yaparım" düşüncesiyle yukarıda görselini paylaştığım hilbert çizgisinin algoritmasını geliştirdi.
peano'nun çizgisi şöyle görünüyordu:
peki bu çizgiler nasıl çiziliyorlar ve biz bu çizgilerin iki boyutlu uzayı tamamen kaplayacaklarını nereden bilebiliyoruz?
bu çizgileri çizmek için belirli bir algoritma takip etmek, diğer bir deyişle önceden belirlenmiş adımları sürekli olarak takip etmek gerekiyor. bizim durumumuzda sürekli olarak takip etmek, sonsuza dek takip etmek anlamına gelecek. ancak bunu açıklamadan önce algoritma dediğimiz şeye bir miktar açıklık getirmek gerek.
algoritma kelimesi kendisinden matematikte bilinmeyene x denmesinin sebebi başlığında uzun uzun bahsettiğimiz iranlı matematikçi harezmi'nin isminden gelir. daha doğrusu o isimden gelmez, direkt o ismin kendisidir.
aslında algoritma konseptinin mucidi harezmi değildir. algoritma zaten mısırlılar, hintliler gibi antik medeniyetlerde bilinen ve sıkça uygulanan bir konsept idi. hatta yazının başında bahsettiğim öklid ve mesela 0 konseptinin mucidi olan hint matematikçi brahmagupta eserlerinde algoritma konseptinden yararlanmışlardır. ancak algoritma konsepti batı dünyasında yaşadığı dönemde al-harezmi veya al-karezmi ismiyle bilinen harezmi'nin cebir ve hint rakamlarıyla hesaplamalar eserleri sayesinde tanınmıştır. avrupa'da latince'ye çevrilen bu eserlerden ikincisi harezmi'nin isminin latince karşılığı olan algoritmi kelimesi kullanılarak "algoritmi de numero ındorum" şeklinde çevrildiği için algoritmi kelimesi zamanla " belirli tariflere uyarak uygulanan hesaplama yöntemi " anlamını kazanmıştır. harezmi'nin orijinal eseri günümüze dek hayatta kalamadıysa da, bu eserin çevirilerinden örnekler vardır.
peki ne ki bu algoritma?
algoritma en basit tabirle tariften ibarettir. örneğin bir yemek tarifini uygulamak, aslında bir algoritma uygulamaktır. elde edilmek istenen bir sonuç için gerekli adımların tarif edildiği bir tarifler bütününe algoritma denir. yani mesela bir patlıcan kebabı yapmak istediğiniz zaman internetten tarif bakıp orada size verilen formülleri uygulamanız, bir algoritmayı takip etmeniz anlamına gelir.
ancak yemek tarifinin algoritma olması pek aydınlatıcı olmayabileceğinden, hepimizin günlük hayatta en azından bir kere karşılaşıp içinden çıkamadığımız bir şeyden bahsetmek istiyorum.
aslında zeka ile pek ilgili olmasa da zeka küpü de olarak anılan rübik küp, tamamen algoritma tabanlı oynanan bir oyundan ibarettir. farklı yüzeylerinde farklı renkler barındıran bu küp belirli düzeyde karıştırıldıktan sonra çözüm yolunu bilmeyen biri için imkansız bir görev gibi görünebilir. ancak bu küp ne kadar karıştırılmış olursa olsun, o anki durumu fark etmeksizin küpü çözmenizi sağlayacak çeşitli algoritmalar bulunur ve bu algoritmaları uygulamak rübik küpü kolaylıkla çözmenizi sağlar.
rübik küp algoritmaları
bu algoritmaları uygulamanın yüksek zeka ile uzaktan yakından ilişkisi yoktur. tanıdığınız en düşük zekalı insana bile yeterli süre verildiğinde bu algoritmaları öğretebilir ve onu birkaç saniye veya hiç değilse birkaç dakikada rübik küp çözebilen birine dönüştürebilirsiniz. burada marifet algoritmaları öğrenebilmek değil, onları ortaya atabilmektir. yani rübik küpü çözebilen biri olmak marifet değildir ama, rübik küpü çözmenin yolunu ilk bulan insan olmak marifettir.
peano ve hilbert'in uzay kaplayabilmek için buldukları çizgi çekme yöntemi de aslında sonsuz aşaması olan, limit kavramıyla yakından ilişkili bir algoritmadır. limit kavramı matematikte her nedense diğer konulardan çok daha sonra öğretilen bir konu olduğu için limitin ne anlama geldiğini bilmeyen birçok okuyucu olacağını tahmin ediyorum. yazıyı buraya kadar yazarken yorulmam ve limiti de açıklarsam yazıyı çok fazla uzatacak olmam gerekçesiyle onlara alice in wonderland'in matematik kitabı olması başlıklı yazımı okumalarını tavsiye ediyor ve yazıma kaldığım yerden devam ediyorum.
şimdi elimizde bir kartezyen koordinat sistemi var ve biz bu sistemi tıpkı desmos uygulamasında olduğu gibi sonsuz miktarda kareye bölebiliyoruz.
desmos örnek 1
desmos örnek 2
burada yapmak istediğimiz şey bu kareler içinde çizeceğimiz bir çizgi ile koordinat sisteminin tamamını kaplamak.
peki bu çizgiyi nasıl çizebiliriz ki?
bunun tarifini buraya tamamen matematiksel formülasyon kullanarak vermek mümkün olsa da ileri matematiğe hakim olmayan kimse yazdığım şeyi doğal olarak anlamayacağı için çağımızın en iyi matematik öğretmenlerinden grant sanderson'ın anlatımını türkçeleştirerek durumu açıklığa kavuşturmaya çalışacağım.
şimdi elimizde bir kare olduğunu ve bu kareyi birbirine eş dört farklı kareye böldüğümüzü, sonra da bu karelerin içlerinden bir çizgi çekerek hepsini birbirine bağladığımızı hayal edelim. bu çizgi çekme işlemini de en basit haliyle yapalım.
bunu 4 eş karede yaparsak şöyle bir sonuca ulaşırken: birinci derece yılan
kareleri arttırıp 16 eş karede yaparsak şöyle bir sonuca ulaşırız: ikinci derece yılan
kareleri tekrar arttırıp 64 eş karede yaparsak da şöyle bir sonuca ulaşırız:üçüncü derece yılan
fark ettiyseniz kare sayısını her arttırdığımızda kareleri bağlayan çizgi de sıklaşıyormuş gibi bir görüntüyle karşılaşırız. bunu sebebi çizginin gerçekten de sıklaşmasıdır.
şimdi geniş bir kareye belirli bir uzaklıktan baktığımızı ve onu 4 parçaya bölüp önce ilk görseldeki çizgiyi çizdiğimizi hayal edelim. bu durumda baktığımız yerde birçok boşluk olduğu gözümüze çarpacaktır. o yüzden aynı mesafeden baktığımız alanı 4 kare yerine 16 eş kareye bölüp aynı yöntemle çizgi çekersek, sanki bu sefer kare bir miktar fazla dolmuş gibi görünür. biz bu işlemi ne kadar sürdürürsek, alan gözümüze o kadar fazla dolmuş gibi görünecektir. eğer biz bu işlemi sonsuza dek yaparsak, bu durumda sanki alanın tamamı çizgilerle kaplanmış ve açıkta yer kalmamış gibi bir görüntü oluşur.
buraya kadar görünürde her şey tamam olsa da ortada şöyle bir sorun var:
bunu yaparak oluşturduğumuz çizgilerde belirlediğimiz noktaların yerleri, kare sayısını arttırdıkça tamamen alakasız biçimde değişeceği için sonsuza dek bu işlemi sürdürdüğümüzde belirlediğimiz noktanın nereye gideceği konusunda fikir sahibi olamıyoruz.
daha basit şekilde anlatmam gerekirse, yukarıda 4 kareli yılan olarak eklediğim görseldeki çizgi üzerinde bir nokta belirler ve o noktanın 16 kareli olan ikinci görselde nereye denk geldiğini, sonra da aynı noktanın 64 kareli üçündü görselde nereye denk geldiğini bulursanız birbirinden çok farklı alakasız sonuçlara ulaşırsanız. grant sanderson'ın yazı sonunda linkini bırakacağım animasyonunda olay şu şekilde tarif edilmiş:
belirlediğimiz noktanın ilk yeri
belirlediğimiz noktanın ikinci yeri
belirlediğimiz noktanın üçüncü yeri
belirlediğimiz noktanın yedinci hali (daha rahat görebilmek için )
görsellerden de anlayabileceğiniz üzere, bu yöntem ile çizdiğimiz çizgilerde belirlediğimiz bir nokta, koordinat sistemimizi her daha fazla parçaya böldükçe farklı yerlere gideceğinden, sonsuza dek böldüğümüzde o noktanın çizgimizin hangi parçasına denk geldiğini tarif etmek mümkün olmayacaktır.
bu sorunu çözebilmek için kareleri birbirine bağlama işlemi yılan oyunundaki gibi değil, peano veya hilbert çizgileri gibi tekniklerle yapılmalıdır.
hilbert yöntemi yılan yönteminden biraz farklı olarak kareleri basit bir algoritma ile bağlar. bu yöntemin ne olduğunu bu saatte burada tarif etmek benim için hasta halimle inanılmaz bir efor gerektireceği için hilbert algoritması için bir görsel ve bir gif ekliyorum.
yılan tipi çizgi çekme yöntemi ile bu yöntem arasındaki fark, hilbert ilk başta belirlediğiniz bir noktanın çizgi üzerindeki yerinin kare sayısı arttırıldıkça yüzey üzerinde neresi olduğu kesin olarak belli olan bir yere daha fazla yaklaşması. yani siz kare sayısını her arttırdığınızda ilk başta belirlediğiniz nokta çizgi üzerinde en başta belirli olan bir yere daha fazla yaklaşır. eğer kare sayısını sonsuza dek arttırdığınızı kabul ederseniz de, elinizde ilk başta belirlediğiniz noktanın yaklaştığı yerin limiti olarak, yani o noktanın çizgi üzerindeki yeri olarak gösterebileceğiniz bir yer bulunur.
başka bir deyişle, bu işlemi sonsuza dek uygularsanız alan üzerinde çizdiğiniz çizginin geçmediği tek bir nokta bile gösteremezsiniz. bundandır ki bu yöntem ile çizeceğiniz çizgi sonsuz küçüklüğe bölebildiğiniz iki boyutlu uzayın tamamını kaplayacaktır.
dile kolay! demin genişliği olmayan, sadece uzunluğu olan hayali bir şey kullanarak hem genişliği hem de uzunluğu olan bir alanı kaplamanın yolunu öğrenmiş oldunuz.
matematik tuhaf şey, kimi insana bir halı deseni üzerinde sonsuzluğu buldurabiliyor.
dipnot: bu bilginin günlük hayatımızda ne işe yarayacağını merak edenler kaynakça ve ileri okuma kısmına göz atarak günlük hayatta ne tür konularda kullanıldığını görebilir.