Öncelikle Monty Hall Problemi nedir?

Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? 

İşte Monty Hall Problemi'nin ''Parade'' dergisinde Marilyn vos Savant tarafından tanımlanmış hali tam olarak bu.

Daha net anlatacak olursak

kafaların daha fazla karışmasını önlemek adına, öncelikle karşı argümanları çürütmeyi uygun görüyorum:

varsayalım ki problemimiz biraz farklıydı ve 3 kapı yerine 100 kapı vardı. bu kapıların birinin arkasında da araba.

bu kapılardan birini seçiyoruz ve monty abi geri kalan 99 kapıdan 98 tanesini açıyor. şimdi önümüzde iki tane kapı var. biri başta bizim 100 kapı arasından seçtiğimiz kapı diğeri ise monty abinin 98 tane kapıyı açtıktan sonra geriye bıraktığı kapı. sizce arabanın bizim ilk seçtiğimiz kapının arkasında olma olasılığı nedir? 1/2 mi yoksa 1/100 mü?

aslında problemin orjinal haline başka bir gözle bakmak da çözümü birdenbire açık edebilir:
bizim yarışmadı olarak iki seçeneğimiz var. birincisi ilk tercihimizde ısrar etmek, ikincisi tercihimizi değiştirmek.
şimdi ikisi de ne anlama geliyor inceleyelim.

öncelikle, eğer kararımızı değiştirmeyecek isek, monty abinin attığı taklaların bizim açımızdan hiçbir önemi yoktur. dolayısıyla kararımızı değiştirmemek demek eğer ilk seçtiğimiz kapının arkasında araba varsa arabayı kazanacağız demektir. ilk seçtiğimiz kapının arkasında arabanın olma olasılığının 1/3 olduğunu inkar edecek olan yoktur sanırım.

şimdi ise kararımızı değiştirecek olmanın ne anlama geldiğine bakalım. herhangi bir kapıyı seçiyoruz ve geriye tek bir kapı kalacak şekilde bütün kapılar açılıyor. eğer ilk seçtiğimiz kapının arkasında araba vardıysa, yani gidip ilk tahminde arabayı bulduysak diğer kapının arkası boş ve biz kaybedeceğiz. eğer ilk seçimimizde boş bir kapı seçtiysek o kapının arkasında mutlaka araba var ve biz arabayı kazanacağız. bu nokta çok önemli ve herkesin kafasını karıştıran nokta da bu. monty abi bütün kapıları açtıktan sonra geriye kalan kapının ardında araba olmaması ancak ve ancak bizim ilk tercihimizde arabayı bulmamız ile mümkündür. tekrar söylüyorum: eğer ki biz ilk tercihimizde arabayı bulamadıysak bu andan itibaren monty abi bize araba olan kapıyı bırakacaktır. ama yok ilk tercihimizde arabayı bulursak monty abi bize fason bir kapı bırakacaktır.

dolayısıyla monty abinin bıraktığı kapının arkasında araba çıkmaması olasılığı bizim ilk tercihimizde arabayı bulma olasılığımız ile tamamen aynıdır. eğer ilk tercihimizde arabayı bulursak monty abi bize boş bir kapı bırakacak, yok eğer ilk tercihimizde arabayı bulamazsak monty abi bize ardında araba olan kapıyı bırakacaktır.

sonuç olarak sadece ama sadece bizim ilk tercihimiz üzerine olasılık hesabı yapılmalıdır çünkü biz tercihimizi yaptıktan sonra herşey "deterministik"dir.

yaklaşık yüz kere söylemiş olmama rağmen son bir kez daha özet geçersek:
eğer ilk tercihimizde arabayı bulursak (ki olasılık 1/3'tür) ısrarcılık kazanır değişim kaybeder.
eğer ilk tercihimizde arabayı bulamazsak (ki olasılık 2/3'tür) değişim kazanır ısrarcılık kaybeder.

100 kapılı problam için ise:
eğer ilk tercihimizde arabayı bulursak (ki olasılık 1/100'dür) ısrarcılık kazanır değişim kaybeder.
eğer ilk tercihimizde arabayı bulamazsak (ki olasılık 99/100'dür) değişim kazanır ısrarcılık kaybeder.

daha resmi, matematiksel çözümler daha önce sunulmuş olduğundan ben daha ziyade sirk maymunu türü bir çözüm yolu izledim. ayaküstü yazılmış berbat bir dile sahip bu çözüm umarım durumun daha net anlaşılmasına yardımcı olmuştur.

einstein'in kaderi olasiliga tercih etmesini beklemezdim ama napalim.. 3 kapi ornegi yetmemis heralde diyorum ona, 100 kapi ornegi verilmeliydi belki.. soyle ki monty hall onunuze 100 kapi koyuyor, siz bi tercih yapiyorsunuz.. o kapida araba olma ihtimali 1/100.. simdi monty gidip 98 kapi aciyor ve hepsinde keci var, geriye 2 kapi kaliyor.. sonra da size donup soruyor, degistirmek ister misiniz?

kisa bi hesapla sectiginiz 1/100 ise, geri kalanlar 99/100 olmali sonucuna varilir.. iki kapi kaldi simdi yani olasiliklar 1/2 degil mi diyene 98 kapiyi acmak yerine soyle de ifade edebilirdik: sectigin 1 kapiyi mi elinde tutmak istersin yoksa kalan 99 kapiyi birden secmek mi?

bunu n kapiya da genellemisler sonra tabi.. 4 kapi ornegine bakalim gorus almak icin.. bir kapi seciyorsunuz ilk adimda, sonra bir kecili kapi aciyor monty ve size soruyor degistirmek ister misin diye.. bir sonraki adimda bir kecili kapi daha aciyor ve son kez soruyor degistirmek isteyip istemediginizi..

simdi ilk adimda sectiginiz kapida araba olmasi ihtimali 1/4, digerlerinde 3/4.. monty onlardan birini actiginda 2 kapinin olasiliklari 3/4*1/23/8 oluyor.. bu adimda degistirmezseniz kapinizi bi sonraki adimda kalan diger kapinin olasiligi 3/4 olacak.. bu adimda degistirirseniz kapinizi bi sonraki adimdaki diger kapinin olasiligi 3/8+1/45/8 olacak, elinizdeki kapinin ki ise 3/8'de kalacak.. iki adimda da degistirmezseniz 1/4 kalacak elinizde.. adam gibi toplayacak olursak (t-tut, d-degistir):

p(t,t)1/4
p(t,d)3/4
p(d,t)3/8
p(d,d)5/8

yani en mantikli secenek ilk seferde tutup ikincide degistirerek 3/4 ihtimale ulasmak.. n kapili problemde de en iyi taktik zaten (n-1)/n olasilik saglayacak olan sona kadar tut, en sonda degistir taktigi..

vos savant'ın olabilecek altı sonucu listelediği tablosu;

kapı 1.....kapı 2.....kapı 3.....=sonuç (1 numaralı kapıyı seçer ve onda ısrar ederse)

araba.....keçi.........keçi........=kazanır
keçi........araba......keçi........=kaybeder
keçi........keçi.........araba.....=kaybeder

kapı 1.....kapı 2.....kapı 3.....=sonuç (1 numaralı kapıyı seçer ve onu değiştirirse)

araba.....keçi.........keçi........=kaybeder
keçi........araba......keçi........=kazanır
keçi........keçi.........araba.....=kazanır

Marilyn'e bu ikilemi ortaya atmasından sonra matematikçilerden mektuplar yağmış

kendisine gelen, aralarında ünlü matematikçilerin de bulunduğu itiraz konulu binlerce mektuptan biri;

uçtunuz ve büyük uçtunuz! şöyle açıklayayım; sunucu bir keçiyi çıkartıktan sonra, ikide bir doğru kapıyı bulma şansınız vardır. kararınızı değiştirseniz de, değiştirmeseniz de ihtimaller aynıdır. bu ülkede matematiksel anlamda yeteri kadar kara cahil var zaten. dünyanın en yüksek iq'sunun propagandasına daha fazla ihtiyacımız yok. utanın!

vos savant, iddiasını destekleyen başka fikirler öne sürdüğünde tamamen doğruyu söylediği anlaşıldı ve matematikçiler suratlarının ortasına yumurta yer gibi sonucu kabul etmek zorunda kaldılar..

(bkz: the man who loved only numbers)

aynı problem kopya adıyla günlük yaşantımıza sirayet etmiştir;

zira sınavda önünüzde bir soru var ve doğru cevabı bilmiyorsunuz ama 5 şık var yani doğru cevabı bulma olasılığınız 1/5... ama o da ne öndeki arkadaşınız kıçını sağa kaydırdı ve siz onun cevap kağıdını gördünüz... ta taaa ama ya yanlış yaptıysa.. doğru olma ihtimali de söz konusu. ya yanlıştır ya doğrudur.. yani 1/2 şansınız var 1/2>1/5 direkman kopye çekilir

not:7.5 senede bitirdim

Monty Hall Problemi, Wikipedia'da görselli olarak böyle anlatılmış